Salve, devo dimostrare che il seguente integrale improprio parametrico non converge per alcun valore del parametro :
dove l'insieme di integrazione dato è
Io ho svolto l'esercizio in questo modo :
Sia il sottoinsieme proprio di tale che
allora abbiamo che
Adesso sull'insieme valgono le seguenti relazioni
Dunque, abbiamo che
Si esegue ora il seguente cambio di variabili
Dunque, la funzione integranda diventa
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
da cui segue che l'integrale diventa
Per il criterio del confronto asintotico, abbiamo che
che diverge
Infatti, abbiamo che
Dunque, per molto grande è
il cui integrale
diverge sicuramente.
In conclusione, dunque, l'integrale dato non converge per nessun valore del parametro .
A questo punto, vi chiederei conferma della correttezza del mio svolgimento. Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti per svolgimenti alternativi...
Integrale improprio con esponenziale
- Federico.M
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Federico
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Re: Integrale improprio con esponenziale
Ciao, il tuo svolgimento mi pare corretto, anche se un po' lungo e tentare di trovare una via rapida credo faccia parte di questo tipo di esercizio.
Ad esempio, si potrebbe usare la forma polare subito e ottenere
che ne pensi?
Ad esempio, si potrebbe usare la forma polare subito e ottenere
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Ultima modifica di GIMUSI il venerdì 1 maggio 2020, 8:51, modificato 3 volte in totale.
GIMUSI
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Re: Integrale improprio con esponenziale
Ciao Gimusi, grazie per la risposta.. In effetti il tuo svolgimento è rapidissimo rispetto al mio. Tuttavia, oltre ad una piccola svista a denominatore..
.. non riesco a capire da dove venga fuori la disuguaglianza con ...
.. non riesco a capire da dove venga fuori la disuguaglianza con ...
Federico
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Re: Integrale improprio con esponenziale
Ok, adesso mi è chiaro il tuo ragionamento... In effetti, ridursi a studiare l'integrale sullo spicchio indicato sfruttando la simmetria della funzione è molto più rapido. Grazie per il suggerimento Gimusi..
Federico
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