Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 22 agosto 2018, 15:13
Gran gran gran bella domanda, che se vogliamo riguarda la scelta tra l'approccio "esterno" e l'approccio "interno".
Per cominciare diciamo che non si può avere tutto dalla vita. Se ammettiamo un minimo di assioma di scelta, ci becchiamo Banach-Tarski, e siamo costretti a dire addio alla possibilità di misurare tutti i sottoinsiemi salvando un minimo di decenza, e cioè la numerabile additività sui disgiunti (che è quella poi che ci permetterà nel giro di qualche lezione di fare il teorema di scambio per gli integrali con la sola ipotesi di convergenza puntuale dominata, che è poi lo scopo di tutta la faccenda).
Messo il cuore in pace, ci restano due opzioni: decidere di salvare la numerabile additività sui disgiunti e misurare solo qualcosa, oppure misurare tutto e indebolire richiedendo solo monotonia e numerabile sub-additività. Questo porta alle due definizioni diverse di misura (e per il momento non tiriamo in ballo quelle vettoriali). A fare da ponte tra le due definizioni c'è la costruzione di Caratheodory, che sostanzialmente dice che anche una misura sub-additiva si comporta bene se ristretta opportunamente.
La definizione di misura esterna, a guardarla bene, moralmente sugli insiemi brutti preferisce "sbagliare per eccesso", fornendo un valore più grande. Questo rende facile formulare semplicemente la numerabile sub-additività, senza doverci porre troppe cautele nel chiedere sottoinsiemi disgiunti e via discorrendo. Forse uno potrebbe fare una teoria delle misure "interne", imponendo una qualche forma di super-additività (ma dove? forse sui disgiunti), ma sicuramente i dettagli sarebbero più seccanti da sistemare.
Passiamo ora al metodo I. Definendolo con l'inf non ci sono seccature di evitare sovrapposizioni, perché l'inf stesso rende sconveniente avere sovrapposizioni eccessive. Così si ottiene una misura esterna, che molto spesso sbaglia in eccesso, ma diventa una buona misura (quella di Lebesgue) una volta ristretta alla Caratheodory.
Cosa succederebbe se volessi definirla con il sup? Per iniziare dovrei imporre che i rettangolini dentro siano disgiunti ... poi verrebbe 0 davvero troppo spesso, ad esempio ogni qual volta che l'insieme ha parte interna vuota! Come definirei poi gli insiemi misurabili? Imponendo che il sup da dentro sia uguale all'inf da fuori? Così è un film già visto: mi ritroverei la misura di Riemann e sarei fermo all'analisi 2 con tutti i suoi problemi di passaggio al limite.
Insomma, sembra che la carta vincente sia rinunciare ad avere una costruzione da dentro ed una da fuori, ma fare solo quella da fuori, e definire la misurabilità con quella stranezza alla Caratheodory.
In realtà non è proprio (solo) così. C'è come alternativa la via bassa alla misura di Lebesgue, descritta più avanti in quelle lezioni. L'idea è questa: uno parte definendo la misura solo sulle unioni FINITE disgiunte (ok, pezzi di bordo in comune non contano) di rettangoli. Sembra un pericoloso inizio alla Riemann, ma poi la svolta. Definiamo la misura dei compatti facendo l'inf da fuori, come nel metodo I ma solo per i compatti. Poi definiamo la misura degli aperti facendo il sup da dentro, così anche Lorececco è contento. Poi, dato un insieme qualunque definiamo la misura esterna come l'inf delle misure degli aperti che lo contengono, e definiamo la misura interna come il sup delle misure dei compatti contenuti. A quel punto chiamiamo un insieme misurabile se la misura interna ed esterna coincidono. Sorpresona: il risultato è lo stesso del caso precedente!
Volendo, potremmo concludere che la classe dei rettangoli è troppo povera per avviare un procedimento da dentro e da fuori. Conviene allora fare una prima passata in cui dai rettangoli si passa a tutti i compatti e tutti gli aperti, che a quel punto sono sufficienti per avviare il procedimento.
