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Buongiorno a tutti, stavo cercando di risolvere un'esercizio a pag.67 dell'eserciziario:
sul dominio

1. La funzione è regolare;
2. Il dominio è (chiuso e) limitato COMPATTO;
Allora MAX, min, esistono.

+PUNTI STAZIONARI INTERNI:

Risolvo questo sistema con oppure .
Il primo caso lo escludo poiché , invece nel dominio (sono abbastanza certo) che la funzione possa assumere valori sia NEGATIVI, che POSITIVI.

+BORDO: è formato dal "pezzo dell'asse x" dentro la specie di parabola rovesciata, e la stessa parabola rovesciata con .

1.Di nuovo, escludo che punti sul segmento possano essere MAX o min perché sono punti con .

2. *METODO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE*: non ci sono punti singolari ;


Da cui,

Che risolviamo separando i casi: e .
Da quest'ultimo ricaviamo i punti: .

Infine ottengo che:
1.
2.
3.
4.

Risulta che questi ultimi due siano massimo e minimo.
Quindi concludo che i punti di massimo sono infiniti e sono: ;
e che i punti di minimo sono anch'essi infiniti e sono: .

Ciao, allora io segnalerei quanto segue:

a) Quando trovi i punti stazionari dovresti dire meglio che sono e tutti gli infiniti (non mi è chiaro perché su questo ultimo caso specifichi ).

b) Da segnalare anche che il fatto che comprenda punti nel dominio vada mostrato (ad es. con un semplice studio di funzione).

c) Quando risolvi il sistema di Lagrange, dovresti specificare i vari casi considerati, in particolare , che non ha soluzioni, e , che porta alle condizioni che hai indicato (probabilmente è un passaggio che hai fatto ma scritto così non si comprende).

d) I punti papabili sul bordo, oltre i casi 1 e 2, dovrebbero essere quelli con che intersecano la "parabola" (forse c'è un refuso nel 3?) e bisogna mostrare che esistono distinti (vd. precedente punto "b") in modo da poter anche concludere che sono infiniti.

In sostanza, mi pare uno svolgimento corretto se lo completi con il punto "b" e se hai svolto il sistema di Lagrange anche considerando il caso .

Buongiorno, innanzitutto grazie per la risposta!

a) In effetti avevo dato per scontato che … invece devo sempre indicare i punti che trovo, poi eventualmente faccio dei ragionamenti.

c) Ammetto che non ho considerato ESPLICITAMENTE i due casi: ho pensato che , pensando che 1. e ; 2. l'altro caso avrebbe dato dei punti già compresi nello studio dei punti stazionari… Comunque, non l'ho nemmeno scritto. (Sarebbe stato un errore?)

d) Sì, ho sbagliato a scrivere la 3, che sarebbe dovuta essere .

Ad ogni modo non ho dimostrato che abbia punti nel dominio; e neanche che siano distinti.
Per dimostrarlo, potrei fare questo: (??)
1. Cerco l'intersezione tra (e poi con la "parabola".
2. Saranno due punti, osservo che (ad esempio) è convessa tra tali punti, e è concava tra gli stessi punti (in particolare rispetto al segmento che li unisce);
3. Detto ciò, posso affermare che tra i punti trovati, , è sempre nel dominio???
4. Supponendo che la cosa funzioni, posso dire che: essendo la funzione continua, dal teorema dei valori intermedi, segue la tesi. (?????)