Dubbio sulle superfici

[Albert95]

Buonasera professore, finalmente alle prese con analisi!
Leggevo le dispense e ho riscontrato problemi con la definizione.
Se non vado errato noi abbiamo definito la differenziabilità di un'applicazione sui punti interni di un insieme.
Le superfici invece diciamo che sono applicazioni da un insieme chiuso.
Come si risolve per i punti sulla frontiera? Con gli altri avevamo pensato a due strade: ci interessa solo l'applicazione ristretta agli interni oppure avevamo avuto l'idea di definire differenziabile una funzione se dall'insieme di partenza "ingrossato" (in modo tale che risulti aperto) esista un'applicazione differenziabile.
È almeno una delle 2 esatta? Come risolviamo?

[Massimo Gobbino]

Eheh, la risposta a questo post richiederebbe un intero trattato, ma volendo riassumere in poche parole "inutile sottilizzare su questo, andate avanti!".

Facciamo un piccolo passo indietro. Cos'è una curva nel piano? Un'applicazione . D'accordo, ma quanto regolare? Continua? Derivabile? E se derivabile, dove? Abbiamo definito la derivata solo nei punti interni ... la facciamo destra/sinistra agli estremi? Diciamo che deve essere restrizione di una funzione derivabile definita su qualcosa di più grande di [a,b]? Oppure diciamo che deve essere derivabile in (a,b) ma le derivate delle due componenti devono potersi estendere come funzioni continue a tutto [a,b]?

La risposta è, come sempre, "dipende". Dipende da cosa vogliamo fare. Se stiamo semplicemente definendo, magari ci spiace essere elitari e lasciare fuori qualcuna solo perché non è continua, visto anche che la sua presenza non fa male a nessuno. Poi andiamo a definire la lunghezza con il sup delle lunghezze delle poligonali, e ancora una volta le curve non continue un po' disturbano, ma forse non abbastanza da essere lasciate fuori, e ci spiace mettere ipotesi che non siano strettamente necessarie. Poi vogliamo andare a dimostrare la formula per la lunghezza come integrale della "speed", e allora le derivate cominciano a servire, se non altro per scrivere la speed. Quando abbiamo dimostrato il teorema, abbiamo assunto le componenti derivabili fino al bordo ... in che senso però ... se esaminiamo bene la dimostrazione quello che usiamo è la derivabilità nei punti interni, con derivata uniformemente continua, cioè estendibile con continuità fino al bordo (dove a quel punto l'estensione si caratterizza come derivata destra/sinistra, come visto ad analisi 1). Certo l'enunciato non è ottimale, perché la formula continuerà a valere anche per curve ottenute unendo curve definite su due intervalli consecutivi, anche se si forma un angolo nel punto di unione ... oppure curve in cui l'integrale della speed diventa un integrale improprio convergente ... e via discorrendo ... quindi potremmo "divertirci" ad indebolire le ipotesi tirando dentro curve più generali.

Per le superfici è lo stesso, aggravato dal fatto che gli intervalli diventano insiemi del piano. Quando si va a definire spiace mettere ipotesi, sembra quasi un abuso di potere ... le ipotesi servono poi quando si vuole andare a dimostrare qualcosa, e le ipotesi che servono cambiano di volta in volta. Ad esempio, se voglio definire il piano tangente in un punto, basta che quel punto del supporto provenga da un punto interno dell'insieme dei parametri e che la parametrizzazione sia differenziabile in quel punto. Se voglio la formula dell'area di pagina 70 dello stampato integrale qualche ipotesi devo mettercela: diciamo omega limitato aperto misurabile e parametrizzazione differenziabile in omega con derivate parziali uniformemente continue, dunque estendibili con continuità alla chiusura. Non sono però ipotesi strettamente necessarie, volendo si risparmia.

Quando andiamo avanti e arriviamo a Gauss-Green o Stokes, che sono il punto di arrivo di tutta la storia, le ipotesi diventano ancora più stringenti, sia sull'insieme dei parametri omega, sia sulle regolarità delle parametrizzazioni e delle altre funzioni coinvolte. Esaminando con cura le dimostrazioni dati scopriamo che quello che serve su omega è che ogni punto del bordo di omega abbia un intorno rettangolare in cui omega si vede come insieme normale, e tutte le volte che si scrivono derivate quelle si richiedono uniformemente continue, quindi estendibili ... Certamente queste sono ipotesi che fanno funzionare le dimostrazioni, ma sono ben lontane dall'essere ottimali. Cercare le ipotesi ottimali per Gauss-Green vuol dire ripercorrere 50 anni di storia della matematica dell'ultimo secolo, che ha visto lo sviluppo della teoria geometrica della misura.

Volendo però concludere, un buon compromesso quando si parla di funzioni differenziabili in un insieme che non è aperto, ma è chiusura di un aperto, è richiedere la differenziabilità nell'interno con derivate parziali uniformemente continue (dunque estendibili con continuità ...).

[E ora sposto nella sezione giusta]