GAUSS GREEN 2

[Filippo.ingrasciotta]

Mi trovo alle prese con le schede di gauss-green 2 e mi trovo in difficoltà.

Cito il testo dell'esercizio.

Bordo del dominio :{ (cost,sent) , t[tex]\in[/tex][0,[tex]\pi[/tex]]}[tex]\cup[/tex]{y=0}

Funzione : y

Devo calcolarne il flusso.... io ero partito facendo il disegno e vedendo che tutti e due i pezzi del bordo del dominio sono orientati in senso positivo....poi non ho saputo più cosa usare

[ghisi]

[Filippo.ingrasciotta]

Calcolare gli integrali delle funzioni sui domini dati. i domini vengono assegnati mediante una caratterizzazione del loro bordo. Se tale bordo viene indicato con un'unione si deve intendere: delimitato dalla curva ( risp. superficie)...e dalla curva (risp. superficie)

[GIMUSI]

[Filippo.ingrasciotta]

Intanto grazie per la spiegazione .
Avevo nominato gauss green perché questo esercizio e sotto il nome di Gauss Green 2 quindi mi stavo scervellando di come dovevo applicare la formula a questo esercizio, invece bastava un semplice integrale curvilineo

[ghisi]

E' vero che si puo' fare anche senza Gauss-Green: come la maggior parte degli esercizi si puo' fare i vari modi. Io però consiglierei di farlo anche con Gauss-Green, tanto per capire come si fanno con quella tecnica...

[Filippo.ingrasciotta]

[Gabe]

oppure consideri [tex]f(x,y)=div(\overline{E})=y[/tex] e per esempio puoi prendere [tex]\overline{E}=(xy, 0)[/tex] a cui poi applicare GG, l'unica cosa a cui stare attenti è che in questo caso i bordi sono [tex]2[/tex] e bisogna tenere presente il verso della normale

[Filippo.ingrasciotta]

Propongo l'esercizio subito dopo della tabella, e il mio ragionamento e mi spiegate dove sbaglio..
Sia [tex]\partial\Omega ={(t,2t) t\in [0,1]} \cup {y=2} \cup {x=0}[/tex]
F(x,y) =[tex]x^2[/tex]

allora per Gauss Green:
[tex]\int_{\Omega}^{} f divE\, dx dy[/tex]=[tex]-\int_{\Omega}^{} \nabla f * E \, dxdy +\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds[/tex]

quindi ho ipotizzato di avere un E tale che divE=1 e ho scelto E=(1,y)
ricavo in oltre che [tex]\nabla f =(2x,0)[/tex]
quindi
[tex]-\int_{\Omega}^{} \nabla f * E \, dxdy = - \int_{0}^{1} dx \int_{2x}^{2} dy 2x = -2/3[/tex]

ora calcolo l'integrali curvilinei sui 3 bordi.
L'ultimo, quello relativo alle asse Y (x=0) fa 0.

il primo è orientato positivamente e ha versore tangente = [tex](2,-1)/ \sqrt5[/tex]

quindi
[tex]\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds = \int_{0}^{1} t^2 (2-2t) \,dt = -1/3[/tex]

il secondo parametrizzato (t,2) [tex]t\in[0,1][/tex] è orientato in senso negativo, quindi metto un meno davanti all'integrale e lo oriento in senso positivo e prendo come versore tangente il versore (0,1)
[tex]\int_{\partial\Omega}^{} f E*v \, ds =-\int_{0}^{1} 2t^2 \, dt = -2/3[/tex]

Qundi rimontando il tutto mi viene
[tex]\int_{\Omega}^{} f divE\, dx dy = -2/3 -1/3 -2/3 = -5/3[/tex]

Cosa che assolutamente non torna perché sul libro risulta essere 1/6

[Gabe]

Prova a considerare [tex]f(x,y)=div(\overline{E})=x^2[/tex] e per esempio puoi prendere [tex]\overline{E}=(x^3/3, 0)[/tex] a cui poi applicare GG, l'unica cosa a cui stare attenti è che in questo caso i bordi sono [tex]3[/tex] e bisogna tenere presente il verso della normale

[Filippo.ingrasciotta]

Ho notato che l'integrale mi rimane solo quello sul bordo, per intendersi su ds, mentre quello col differenziale di f per il campo E mi fa sempre 0, così facendo mi stanno tornando tutti.

[e.rapuano]

Panico momentaneo!
L'esercizio che state discutendo, prima di provare a farlo con gauss green, ho provato a risolverlo calcolando semplicemente l'integrale doppio della funzione sul triangolo che costituisce l'insieme omega....il problema è che svolgendo i calcoli considerando l'insieme prima normale rispetto all'asse y e poi normale rispetto all'asse x, mi escono due risultati diversi! D:
Il secondo risultato mi esce giusto, ma per rendere quel triangolo normale rispetto all'asse y, è giusto far variare y da 0 a 2 e x da 0 a (y/2) ?? Non riesco a trovare l'errore!!

[e.rapuano]

Altri problemi...
Parlo degli esercizi di gauss green 2 in tre dimensioni.

Nel terzo esercizio ho come insieme omega: {x+y+z=pigreco, x,y,z>=0} U {x=0} U {y=0} U {z=0} e la funzione da integrare è sinx...
Come al solito ho pensato di poterlo fare senza applicare gauss green e ho provato a farlo sia per sezioni che per colonne...mi escono 2 risultati diversi e nessuno dei due giusto! -.-"
Prima ho fatto variare x da 0 a pigreco, y da 0 a (-x+pigreco) e z da 0 a (pireco-x-y)
e poi ho fatto variare z da 0 a pigreco, x da 0 a (pigreco-z) e y da 0 a (pigreco-x)...
C'è qualcosa di sbagliato nell'impostazione?

[GIMUSI]

[GIMUSI]