Esistono condizioni su una funzione che implichino la continuità della sua derivata?

[EstOmBIFy]

Esempio:
Se calcolo le derivate utilizzando le "regole":
Osservo che le derivate parziali sono anche continue. Se volessi conoscere potrei calcolare il limite del rapporto incrementale per , oppure ; e sarebbe equivalente! (giusto?). Poi faccio lo stesso per .

Le cose peggiorano quando voglio conoscere e . Le "regole" danno: .
Ma il limite nemmeno esiste! Allora, devo fare il limite del rapporto incrementale di per , e lo stesso con per ; che risulta in e rispettivamente. (E' lo stesso di calcolare il limite sugli assi?).

Quindi, il nocciolo della mia domanda diventa: "quando posso usare la definizione di continuità invece del rapporto incrementale?".