%%%%% Esempio di traiettoria (realizzazione) di
% un white noise a tempo discreto

w <- rnorm(100,0,1)
ts.plot(w)

acf(w)

% l'autocorrelazione è circa nulla.

w.2 <- 2*w+50
ts.plot(w.2)

acf(w.2)

% questa è stata la verifica che acf calcola l'autocorrelazione
% (e non E[X_tX_s]).

%%% Immaginiamo una sorta di limite continuo:

w <- rnorm(1000,0,1)
ts.plot(w)

%%%%%
%%%%% Ecco la random walk:

rw <- matrix(nrow=100)
rw[1] <- 0
for (t in 1:99) {
rw[t+1] <- rw[t]+rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(rw)

%% Ecco appross. il moto Browniano:


rw <- matrix(nrow=1000)
rw[1] <- 0
for (t in 1:999) {
rw[t+1] <- rw[t]+rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(rw)

% La sua derivata è un white noise:

ts.plot(diff(rw,1))


%%%%% Il moto Browniano al tempo t=1000 è una v.a. gaussiana:

B.1000 <- matrix(nrow=177)
rw <- matrix(nrow=1000)
for (k in 1:177) {
rw[1] <- 0
for (t in 1:999) {
rw[t+1] <- rw[t]+rnorm(1,0,1)
}
B.1000[k]<-rw[1000]
}
hist(B.1000,20)

qqnorm(B.1000)

%% queste sono le due visioni di un processo stocastico.

%% Ecco il moto Browniano nel piano:

rw.1 <- matrix(nrow=1000)
rw.2 <- matrix(nrow=1000)
rw.1[1] <- 0
rw.2[1] <- 0
for (t in 1:999) {
rw.1[t+1] <- rw.1[t]+rnorm(1,0,1)
rw.2[t+1] <- rw.2[t]+rnorm(1,0,1)
}
plot(c(-50,50),c(-50,50))
lines(rw.1,rw.2)


%%%%% Il moto Browniano non è stazionario. Ecco un processo
% stazionario costruito a partire dal Browniano:

OU <- matrix(nrow=1000)

% ["OU" sta per Ornstein-Uhlenbeck]


lambda <- 0.5
OU[1] <- 0
for (t in 1:999) {
OU[t+1] <- (1-lambda)*OU[t] +rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(OU)

acf(OU)

% non è un white noise: ha una breve correlazione. Possiamo
% allungare il tempo di correlazione:

lambda <- 0.1
OU[1] <- 0
for (t in 1:999) {
OU[t+1] <- (1-lambda)*OU[t] +rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(OU)

acf(OU)

%%% Per esercizio, si può verificare che OU ad ogni tempo
% t è gaussiano. 


% Estremizziamo la memoria lunga:

OU <- matrix(nrow=10000)
lambda <- 0.001
OU[1] <- 0
for (t in 1:9999) {
OU[t+1] <- (1-lambda)*OU[t] +rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(OU)

% è quasi un moto Browniano, ma per lambda=0:

OU.WB <- matrix(nrow=10000)
lambda <- 0.000
OU.WB[1] <- 0
for (t in 1:9999) {
OU.WB[t+1] <- (1-lambda)*OU.WB[t] +rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(OU.WB)


Dove si vedono traiettorie di queswto genere? Ad esempio 
in finanza:

B <- read.table(file="bulgari.txt")
ts.plot(B[,1])

OU <- matrix(nrow=1000)
lambda <- 0.001
OU[1] <- 0
for (t in 1:999) {
OU[t+1] <- (1-lambda)*OU[t] +rnorm(1,0,1)
}
ts.plot(OU)