%%%%%%%%%% ESERCIZI DI BASE


%%%%% Esercizio n. 1. Scrivere una funzione

y <- .......(x)

che associa y=1 al valore x=0, mentre associa y=0 a tutti le altre x.

%%%%% Esercizio n. 2. Scrivere una funzione 

y <- .......(x,a,b)

che produce y=1 se x è compreso tra a e b, mentre produce y=0 altrimenti.



%%%%% Esercizio n. 3. Generare 100 numeri aleatori secondo una v.a. che vale 1 con probabilità p, -1 con probabilità (1-p). Es. p=0.2. Plottarli.


%%%%% Esercizio n. 4. Generare 100 numeri aleatori secondo una v.a. a tre valori, che vale 1 con probabilità p1, 0 con probabilità p2, -1 con probabilità p3, dove p1+p2+p3=1. Es: p1=0.1, p2=0.1, p3=0.8.


%%%%%%%%%% ESERCIZI SU CATENE A TEMPO DISCRETO



%%%%% Esercizio n. 5. Simulare (nel senso di produrre esempi di traiettorie di) una catena di nascita e morte a tempo discreto, nel caso in cui si passa da k a k+1 con probabilità p, mentre a k-1 con probabilità (1-p), probabilità uguali per tutti i k. Es. p=4, 1000 passi, stato di partenza =7. 
Stimare sperimentalmente le probabilità a regime. Controllare che il risultato sia giusto rispetto alla teoria.

%%%%% Esercizio n. 6. Ripetere l'esercizio quando le probabilità di transizione variano con k.

%%%%% Esercizio n. 7. Ripetere l'esercizio quando sono non nulle anche le probabilità da k in k. 

%%%%% Esercizio n. 8. Prendere una catena di Markov a tempo discreto, con tre stati, 1,2,3, e probabilità di transizione assegnate tra essi. Simularla e stimare sperimentalmente le probabilità a regime. Risolvere questo esercizio anche solo nel caso particolare: p12=0.5, 013=0.5, p21=0.1, p22=0.1, p23=0.8, p31=0.5, p32=0.5. 


%%%%% Soluzione Es. 1.

y <- 1-abs(sign(x))

Prove:

x<- 7.2
1-abs(sign(x))

x<- -682
1-abs(sign(x))

x <- 0
1-abs(sign(x))

%%%%% Soluzione Es. 2.

y <- 0.5*(sign(x-a)+1)*0.5*(sign(b-x)+1)

Prove:

x<- 7.2
a <- 3
b <- 8
0.5*(sign(x-a)+1)*0.5*(sign(b-x)+1)

x<- 9.2
a <- 3
b <- 8
0.5*(sign(x-a)+1)*0.5*(sign(b-x)+1)

x<- 1.2
a <- 3
b <- 8
0.5*(sign(x-a)+1)*0.5*(sign(b-x)+1)


%%%%% Soluzione Es. 3. 

p<-0.2
X <- 2*rbinom(100,1,p)-1
plot(X)

%%%%% Soluzione Es. 4. 

p1 <- 0.1
p2 <- 0.1
p3 <- 0.8
F0 <- 0
F1 <- p1
F2 <- p1+p2
F3 <- p1+p2+p3
U <- runif(100)
c1 <- 0.5*(sign(U-F0)+1)*0.5*(sign(F1-U)+1)
c2 <- 0.5*(sign(U-F1)+1)*0.5*(sign(F2-U)+1)
c3 <- 0.5*(sign(U-F2)+1)*0.5*(sign(F3-U)+1)

X <- 1*c1 + 0*c2 + (-1)*c3

plot(X)



%%%%% Soluzione Es. 5.


La seguente soluzione sembra naturale ma è sbagliata:

p<-0.4
X <- matrix(nrow = 1000)
X[1] <- 7
for (k in 2:1000) {
X[k] <- X[k-1] + 2*rbinom(1,1,p)-1,0
}
plot(X)


Invece la seguente è giusta:

p<-0.4
X <- matrix(nrow = 1000)
X[1] <- 7
for (k in 2:1000) {
X[k] <- max(X[k-1] + 2*rbinom(1,1,p)-1,0)
}
plot(X)

Probabilità a regime di essere nello stato 5 (a titolo di esempio):

sum(1-abs(sign(X-5)))/1000

Probabilità teorica di essere nello stato 5: 

(1-p/(1-p))*(p/(1-p))^5

Si vede che sono abbastanza diverse. E' colpa del fatto che la storia è ancora troppo breve:


p<-0.4
n<-5
(1-p/(1-p))*(p/(1-p))^n
X <- matrix(nrow = 100000)
X[1] <- 7
for (k in 2:100000) {
X[k] <- max(X[k-1] + 2*rbinom(1,1,p)-1,0)
}
sum(1-abs(sign(X-n)))/100000