Salve, sono alle prese con il seguente esercizio di cui propongo una soluzione, ma non sono sicuro che le considerazioni fatte durante lo svolgimento siano corrette. Pertanto, se qualcuno vuole dare un'occhiata e dire cosa ne pensa, ne sarei felice..
L'esercizio è questo: stabilire per quali valori del parametro il seguente integrale risulta convergente.
dove l'insieme dato è
Eseguo il seguente cambio di variabili per pareggiare gli esponenti a denominatore:
La funzione integranda diventa
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
Adesso
per è
mentre
per è
In ogni caso abbiamo che
sono un numero in quanto integrali propri di funzione continua su insiemi limitati. Quindi, la convergenza dell'integrale sarà determinata dal suo comportamento sull'insieme di partenza. Passando a coordinate polari, dunque, si ha che
L'integrale in è uguale a
Dunque, l'integrale dato converge cioè
Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.
Integrale improprio con parametro
- Federico.M
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- Località:Montecatini Terme [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Federico
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Re: Integrale improprio con parametro
C'è un piccolo problema: se è negativo il seno è al denominatore, quindi gli integrali che trascuri non sono integrali propri....
Si tratta comunque di integrali finiti, ma andrebbe giustificato. Questo è il motivo per cui quando si "pareggiano gli esponenti "di solito si pareggia all'esponente "più grande".
Si tratta comunque di integrali finiti, ma andrebbe giustificato. Questo è il motivo per cui quando si "pareggiano gli esponenti "di solito si pareggia all'esponente "più grande".
- Federico.M
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Re: Integrale improprio con parametro
Grazie per la correzione professoressa... Quindi, se ho capito bene, si può risolvere l'esercizio distinguendo due casi :
1)
2)
Ragionando poi come nel post iniziale, dovremmo raggiungere la soluzione corretta senza gli inconvenienti segnalati.
1)
2)
Ragionando poi come nel post iniziale, dovremmo raggiungere la soluzione corretta senza gli inconvenienti segnalati.
Federico
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Re: Integrale improprio con parametro
Si. In alternativa puoi considerare un'unico caso, cambiando entrambi gli esponenti con uno più grande di tutti e due. Occhio però che adesso quando passi in polari la funzione in non è più così bella....
- Federico.M
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Re: Integrale improprio con parametro
Si, l'integrale che devo risolvere non ha un bell'aspetto. Infatti esso diventa
da cui, passando in polari, ottengo
Posto e sfruttando la relazione
otteniamo
Il primo integrale a destra è proprio e, quindi, converge
Il secondo integrale, per il criterio del confronto asintotico, è equivalente a
In conclusione, dunque, l'integrale converge per , cioè per
Per quanto riguarda l'osservazione di Gimusi, è giusta e di rapida applicazione..
da cui, passando in polari, ottengo
Posto e sfruttando la relazione
otteniamo
Il primo integrale a destra è proprio e, quindi, converge
Il secondo integrale, per il criterio del confronto asintotico, è equivalente a
In conclusione, dunque, l'integrale converge per , cioè per
Per quanto riguarda l'osservazione di Gimusi, è giusta e di rapida applicazione..
Federico
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Re: Integrale improprio con parametro
Grazie ad entrambi per le conferme e le scorciatoie risolutive..
Federico
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