Errori nelle lezioni 2019/20
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Iniziamo qui un lungo elenco
Lezione 70. Erroneamente nella seconda pagina c'è scritto che una base di autovettori del Dirichlet Laplacian nell'intervallo è . Dopo un po' mi accorgo che deve essere n dispari, per avere l'annullamento al bordo.
Il fatto è che questi non bastano. Facendo il conto per bene, come fatto nel caso di , si vede che gli autovalori sono i quadrati degli interi positivi, ma gli autovettori sono per n dispari e per n pari.
Ho segnalato la cosa nel file pdf, ma chi l'ha scaricato oggi (17 dicembre 2019) non ha la correzione. Idem per il volume 3 dello stampato integrale. Da questo momento sono aggiornati, quindi consiglio di scaricarli nuovamente.
Dal punto di vista matematico non cambia molto, se non che bisogna considerare, quando si passa al quadrato, tutti i prodotti possibili tra seni e coseni. Allora tanto vale lavorare direttamente nel quadrato , facendo la traccia per , cosa che non avevo fatto nella speranza di evitare di distinguere i casi pari/dispari.
Lezione 70. Erroneamente nella seconda pagina c'è scritto che una base di autovettori del Dirichlet Laplacian nell'intervallo è . Dopo un po' mi accorgo che deve essere n dispari, per avere l'annullamento al bordo.
Il fatto è che questi non bastano. Facendo il conto per bene, come fatto nel caso di , si vede che gli autovalori sono i quadrati degli interi positivi, ma gli autovettori sono per n dispari e per n pari.
Ho segnalato la cosa nel file pdf, ma chi l'ha scaricato oggi (17 dicembre 2019) non ha la correzione. Idem per il volume 3 dello stampato integrale. Da questo momento sono aggiornati, quindi consiglio di scaricarli nuovamente.
Dal punto di vista matematico non cambia molto, se non che bisogna considerare, quando si passa al quadrato, tutti i prodotti possibili tra seni e coseni. Allora tanto vale lavorare direttamente nel quadrato , facendo la traccia per , cosa che non avevo fatto nella speranza di evitare di distinguere i casi pari/dispari.
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Re: Errori nelle lezioni 2019/20
Nella lezione 27, per quale motivo le dovrebbero avere supporto compatto? Non dovrei prima sistemare il supporto limitato, come nella dimostrazione dell'approssimazione deluxe in ?
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Re: Errori nelle lezioni 2019/20
Ciao, secondo me sì. E come dici tu si può sistemare come nel caso di approssimazione (deluxe) su tutto lo spazio
- Massimo Gobbino
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Re: Errori nelle lezioni 2019/20
Rispondo alla domanda 1.
La definizione ricorsiva non mi pare dia problemi (anzi si possono fare pure transfinite ); immagino che dunque la domanda sia: alla fine, gli aperti risparmiosi ricoprono? Questo è vero e segue dalla puntuale finitezza del ricoprimento originale: se infatti esiste un non ricoperto dai risparmiosi, esiste un tale che . Sapendo che al passo di definizione dei risparmiosi ho ancora un ricoprimento si ottiene la tesi.
La definizione ricorsiva non mi pare dia problemi (anzi si possono fare pure transfinite ); immagino che dunque la domanda sia: alla fine, gli aperti risparmiosi ricoprono? Questo è vero e segue dalla puntuale finitezza del ricoprimento originale: se infatti esiste un non ricoperto dai risparmiosi, esiste un tale che . Sapendo che al passo di definizione dei risparmiosi ho ancora un ricoprimento si ottiene la tesi.
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Re: Errori nelle lezioni 2019/20
Domanda 2. Come già osservato in un altro topic, ogni funzione in è almeno , e questo sistema le cose.
Domanda 3. Devo solo dimostrare che è Lipschitz (la stima in è facile ). Per ogni coppia di punti fisso una palla che li contiene entrambi. Allora qui le (dunque uniformemente continua) e posso approssimare via convoluzione, con le che convergono uniformemente. A questo punto basta fare la solita stima col gradiente + combinazione convessa e passare al limite per , osservando che non si paga la dipendenza da e dunque vale per ogni .
(dimostrazione presa da )
Domanda 4. I vincoli corretti sono . Ponendo nella prima e nella seconda si ottengono le disuguaglianze cercate. Inoltre sono ottimali tra quelle che posso ottenere coi vincoli di HB: questo lo si vede osservando che a meno di cambiare i termini iniziali (questa cosa andrebbe detta meglio ) e svolgendo i conti
Domanda 3. Devo solo dimostrare che è Lipschitz (la stima in è facile ). Per ogni coppia di punti fisso una palla che li contiene entrambi. Allora qui le (dunque uniformemente continua) e posso approssimare via convoluzione, con le che convergono uniformemente. A questo punto basta fare la solita stima col gradiente + combinazione convessa e passare al limite per , osservando che non si paga la dipendenza da e dunque vale per ogni .
(dimostrazione presa da )
Domanda 4. I vincoli corretti sono . Ponendo nella prima e nella seconda si ottengono le disuguaglianze cercate. Inoltre sono ottimali tra quelle che posso ottenere coi vincoli di HB: questo lo si vede osservando che a meno di cambiare i termini iniziali (questa cosa andrebbe detta meglio ) e svolgendo i conti
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Re: Errori nelle lezioni 2019/20
Qualcuno vede problemi all'inizio della lezione 66 ?
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