[Media aritmetico-geometrica] Successioni che convergono allo stesso limite

[DavidMath]

Buongiorno, spero di non aver sbagliato sezione.

Sia . Consideriamo due successioni e definite nel seguente modo:

con

con

Dimostrare che e convergono verso lo stesso limite.

Volevo chiedere dei consigli su come posso procedere.
Ho provato ad usare il Teorema di Césaro-Stolz tuttavia non ho ben capito se soddisfo le ipotesi per poterlo usare, oppure se c'è un altra strada più facile per procedere.

Grazie per l'aiuto

[Massimo Gobbino]

Ho modificato il titolo, per renderlo più aderente alla realtà.

Detto questo, un paio di aiutini





Se serve altro, basta chiedere!

[DavidMath]

La ringrazio , provo a scriverle i passaggi che ho fatto.

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica




Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
risulta essere monotona crescente e limitata
risulta essere decrescente e limitata

Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone

Esiste il limite

Esiste il limite

(Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo vorrebbe dire che per avere le due successione convergenti allo stesso limite dovrebbe essere )

Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi e convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Da qui non so come procedere

Se non la disturbo troppo vorrei chiederle se può aiutarmi a scrivere la dimostrazione in termini più rigorosi, tante grazie!!

[Massimo Gobbino]

Beh, facciamo il punto della situazione.

Sappiamo che è decrescente e limitata dal basso (ad esempio da ), dunque ammette un limite reale



Analogamente, sappiamo che è crescente e limitata dall'alto (ad esempio da ), dunque ammette un limite reale



Volendo sappiamo anche che , ma noi vorremmo addirittura l'uguaglianza.