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io l'ho risolta e va bene. Sicuramente avrai sbagliato qualcosa nei calcoli

Dovrebbe essere semplice.

Uno dei possibili modi:

1° risolvi l'omogenea e trovi la base;

2° noti che il termine che la rende non omogenea [f(t)=e^t] non fa parte della base e quindi cerchi una soluzione della non omogenea per "invenzione" tipo y(t)= a e^t (sostituisci e trovi il coefficiente "a");

3° combini linearmente le soluzioni, omogenea e non, e trovi quella generale;

4° sfrutti le condizioni al contorno cioè y(0)=0 ed y'(0)=0 (te ne servono due in quanto è del secondo ordine) e cosi ricavi il termine costante che ti salta fuori dalla soluzione della omogenea (ovviamente oltre alla y(t) generale dovrai calcolare anche la sua derivata prima).