la prima domanda chiede se esistono valori di tali che si abbia esistenza globale, e questo si vede abbastanza facilmente in quanto
e questa si risolve esplicitamente, e per valori di la soluzione ha esistenza globale
e limite finito per .
La seconda domanda, ed è quella che mi sta dando un po' di noie, chiede se esistono valori di per cui la soluzione è globale e verifica
la terza chiede le stesse cose della seconda ma con limite uguale a .
Ho provato a ragionare nel modo seguente, ma ho qualche dubbio. Per prima cosa un po' di notazione, pongo
Inoltre
Chiaramente è un intervallo, infatti se e anche . Sia quindi perché ci sono dati iniziali per i quali si ha blow up.
Suppongo sperando che sia vero, ma non l'ho verificato che se allora per forza . Mostro quindi che è non vuoto.
Considero la funzione definita come e osservo che è monotona, calcolo quindi
e dico che ci sono due casi
i) se osservo che e quindi .
ii) se per assurdo noto che preso e definita essa è soprasoluzione opportuno. Considero quindi il problema
dove
Allora dunque ovvero ha esistenza globale nel futuro.
Se poniamo allora è evidente che da cui e quindi assurdo.
A questo punto ho finito perché la funzione è continua e e ancora quindi per il teorema dei valori intermedi esiste tale che
Quello che mi chiedo è se è una dimostrazione corretta, se ce n'era una più facile che mi è sfuggita, se c'è qualche passaggio che si può evitare..
Grazie a chiunque dirà la sua!
In effetti ero quasi convinto che più di qualcuno avrebbe obiettato la continuità.