Forum Studenti

Salve, devo dimostrare che il seguente integrale improprio parametrico non converge per alcun valore del parametro :

dove l'insieme di integrazione dato è
Io ho svolto l'esercizio in questo modo :
Sia il sottoinsieme proprio di tale che
allora abbiamo che

Adesso sull'insieme valgono le seguenti relazioni

Dunque, abbiamo che

Si esegue ora il seguente cambio di variabili

Dunque, la funzione integranda diventa

mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
da cui segue che l'integrale diventa

Per il criterio del confronto asintotico, abbiamo che

che diverge
Infatti, abbiamo che

Dunque, per molto grande è

il cui integrale

diverge sicuramente.
In conclusione, dunque, l'integrale dato non converge per nessun valore del parametro .

A questo punto, vi chiederei conferma della correttezza del mio svolgimento. Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti per svolgimenti alternativi...

Ciao, il tuo svolgimento mi pare corretto, anche se un po' lungo e tentare di trovare una via rapida credo faccia parte di questo tipo di esercizio.

Ad esempio, si potrebbe usare la forma polare subito e ottenere



che ne pensi?

Ciao Gimusi, grazie per la risposta.. In effetti il tuo svolgimento è rapidissimo rispetto al mio. Tuttavia, oltre ad una piccola svista a denominatore..

.. non riesco a capire da dove venga fuori la disuguaglianza con ...

Ok, adesso mi è chiaro il tuo ragionamento... In effetti, ridursi a studiare l'integrale sullo spicchio indicato sfruttando la simmetria della funzione è molto più rapido. Grazie per il suggerimento Gimusi..