Integrale improprio con parametro

[Federico.M]

Salve, sono alle prese con il seguente esercizio di cui propongo una soluzione, ma non sono sicuro che le considerazioni fatte durante lo svolgimento siano corrette. Pertanto, se qualcuno vuole dare un'occhiata e dire cosa ne pensa, ne sarei felice..
L'esercizio è questo: stabilire per quali valori del parametro il seguente integrale risulta convergente.

dove l'insieme dato è

Eseguo il seguente cambio di variabili per pareggiare gli esponenti a denominatore:

La funzione integranda diventa

mentre l'insieme di integrazione si trasforma in

Adesso
per è
mentre
per è
In ogni caso abbiamo che

sono un numero in quanto integrali propri di funzione continua su insiemi limitati. Quindi, la convergenza dell'integrale sarà determinata dal suo comportamento sull'insieme di partenza. Passando a coordinate polari, dunque, si ha che

L'integrale in è uguale a

Dunque, l'integrale dato converge cioè

Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.

[ghisi]

C'è un piccolo problema: se è negativo il seno è al denominatore, quindi gli integrali che trascuri non sono integrali propri....
Si tratta comunque di integrali finiti, ma andrebbe giustificato. Questo è il motivo per cui quando si "pareggiano gli esponenti "di solito si pareggia all'esponente "più grande".

[Federico.M]

Grazie per la correzione professoressa... Quindi, se ho capito bene, si può risolvere l'esercizio distinguendo due casi :

1)



2)



Ragionando poi come nel post iniziale, dovremmo raggiungere la soluzione corretta senza gli inconvenienti segnalati.

[ghisi]

Si. In alternativa puoi considerare un'unico caso, cambiando entrambi gli esponenti con uno più grande di tutti e due. Occhio però che adesso quando passi in polari la funzione in non è più così bella....

[GIMUSI]

[Federico.M]

Si, l'integrale che devo risolvere non ha un bell'aspetto. Infatti esso diventa



da cui, passando in polari, ottengo



Posto e sfruttando la relazione
otteniamo



Il primo integrale a destra è proprio e, quindi, converge
Il secondo integrale, per il criterio del confronto asintotico, è equivalente a



In conclusione, dunque, l'integrale converge per , cioè per

Per quanto riguarda l'osservazione di Gimusi, è giusta e di rapida applicazione..

[GIMUSI]

[ghisi]

Esatto!

[Federico.M]

Grazie ad entrambi per le conferme e le scorciatoie risolutive..