Integrale improprio divergente

[Federico.M]

Salve, mi sono trovato a risolvere questo esercizio e volevo sapere se lo svolgimento è corretto.
Devo stabilire se l'integrale improprio della funzione data converge assolutamente su :

1) Osservazioni preliminari:
è definita su tutto ed è ovunque . Per motivi di simmetria, essendo la funzione data pari in entrambe le variabili, è sufficiente studiare la convergenza del suo integrale sul solo I quadrante, poiché si comporta in maniera identica sugli altri tre. L'integrale presenta, dunque, un problema " all'infinito ", essendo l'insieme di integrazione illimitato.
2) Svolgimento:
Sia dunque , allora si distinguono due casi:
Primo caso :
per l'insieme di integrazione si riduce a e per la funzione integranda vale la relazione

per cui abbiamo

Secondo caso :
per l'insieme di integrazione diventa e vale la relazione

Essendo dunque la funzione positiva, segue che il suo integrale su o converge o diverge a . In ogni caso, data la divergenza già verificata su , esso non modifica il comportamento dell'integrale sull'insieme di partenza.
3) Conclusioni:
Complessivamente, dunque, l'integrale dato non converge.

Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.

[Lorececco]

Prima di svolgere un esercizio, un suggerimento sempre valido è quello di fermarsi un attimo a guardare cosa si ha davanti. C'è un che diverge con prepotenza (neanche è limitato)! Come si aggiusta questa osservazione? Ci mettiamo in una fascia orizzontale, ad esempio , in modo che il pezzo non dia fastidio: a questo punto e lei diverge, quindi diverge sulla striscia, quindi diverge ovunque

[Federico.M]

Ciao Lorececco, in effetti le tue considerazioni sono molto più rapide ed efficaci. Grazie per il suggerimento e la correzione...