Aiuto integrale con coordinate polari semplice

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Ho il seguente integrale che purtroppo non riesco a risolvere anche se molto semplice:




La soluzione proposta utilizza le coordinate sferiche.

Ho pensato invece di risolverlo in un altro modo (con le coordinate polari) che mi sembra corretto, ma la soluzione non torna. Volevo sapere se potreste individuare il o i miei errori.

Ho pensato di suddividere il grafico in due zone (verde e gialla):




Perdonate le immagini, gli integrali li scrivo in Latex:
Con
Per la zona gialla ho pensato :

Il che si somma alla zona verde :

Sommati i due contribuiti (ho calcolato gli integrali col calcolatore e dovrebbero essere esatti), purtroppo risulta ben lontano dalla soluzione che sarebbe invece .

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Ciao e grazie per la risposta.. Scusa ma proprio non capisco, a me sembra di aver integrato per primo rispetto a e di aver integrato su tutta la zona gialla.. Infatti una volta integrato il mi rimane

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Grazie mille gentilissimo per l'aiuto, veramente non so più a chi chiedere.. Li ho trovati su un PDF di un professore che ho seguito per dare anche analisi 1.. ho lo svolgimento (usa un altro metodo) ma i risultati non coincidono purtroppo.. Grazie ancora!

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Non so come ho fatto a non vederlo. Grazie infinite!!!