Integrali tripli 4

[Giacinto Gallina]

L'esercizio in questione chiede di integrare la funzione sull'insieme tale che ,,.
Intanto si osserva che ci si può limitare a studiare il problema per e moltiplicare per 2, visto che l'insieme è simmetrico per .
L'insieme che si ottiene è il complementare in dell'instersezione fra la parte superiore della sfera e un parallelepipedo con e variabile. Quindi per ottenere l'integrale richiesto basta integrare su tutta la semisfera superiore e sottrarre l'integrale sull'intersezione descritta per poi moltiplicare per 2. Tale intersezione corrisponde al parallelepipedo per e alla calotta sferica per . Invece il problema sorge quando e l'intersezione corrisponde all'intersezione fra una circonferenza e un quadrato. Come si può calcolare l'area di tale intersezione volendo integrare per sezioni? È conveniente ragionare così o c'è un modo più furbo?

[ghisi]

Ci sono tanti modi per affrontare un esercizio. Io questo lo faccio così di solito: usa le simmetrie per ridurti a , , . Adesso integra in (sostanzialmente è integrare per colonne). Ti ritrovi quindi da integrare



su

, , .

Puoi ridurti al caso in cui . E ora su questo insieme si possono usare le coordinate polari (otterrai che l'insieme in cui varia dipende da ...).

[Edoardo Gabrielli]

Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?

[ghisi]