Fubini-Tonelli

[PIELEO13]

Buona sera a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio HARD proposto dal professore alla lezione 031 di Analisi Matematica 2, anno 2017/2018. Ecco il testo:
Ricordiamo l'enunciato del teorema di Fubini-Tonelli
Sia una funzione limitata e nulla fuori da un limitato. Allora:



dove gli asterischi indicano gli integrali superiori e inferiori nella definizione di integrabilita' alla Darboux.
L'esercizio chiede di trovare una funzione tale che nelle disuguaglianze compaiano 4 numeri distinti. Qualcuno sa aiutarmi?

[Lorececco]

Una possibile soluzione si ottiene mescolando gli ingredienti contenuti in quella lezione. Sia , D un denso di che interseca al più una volta ogni retta orizzontale/verticale e sia la funzione così definita: nel primo quadrato () fa -1 su un denso (D) e 0 altrove; sul secondo quadrato è Dirichlet; sul terzo, infine, fa 1 su un denso (D traslato, diciamo) e 0 altrove. Allora questa funzione dovrebbe avere i quattro integrali che valgono , se non ho sbagliato i conti. Per avere numeri arbitrari basta ritoccare un po' la funzione e/o l'insieme di definizione

[PIELEO13]

Grande Lore!