Integrale Triplo su paraboloide

[Dariellllo1994]

Buonasera sono nuovo del forum , pertanto mi scuso sin da subito se commetto degli errori , volevo chiedere delucidazioni , più che altro la strada corretta da seguire per risolvere il seguente quesito : Detto T un dominio limitato del piano xyz , delimitato dal piano z = - 2 e dalla porzione di paraboloide ottenuta dalla rotazione di ampiezza 2pigreco attorno all'asse z dell'arco di parabole del piano xz di equazione z = x^2 - 6 con 0 < x < 2 . Calcolare il seguente integral triplo della seguente funzione f ( x ; y ; z ) = [ ( x^2 y^2 ) / sqrt ( x^2 + y^2 ) ] . Vi prego di aiutarmi . Distinti saluti .

Dario

[Tiziano]

Ciao,
forse il messaggio verrà spostato nella sezione degli esercizi.
Si tratta di un integrale tripo che potresti calcolare per sezioni.
Cerco di scrivere una possibile risoluzione.
Per prima cosa, studio l'insieme dove integrare la funzione.
Nel piano xOz si ha l'arco di parabola z = x^2 - 6, per x in [0,2]. Quindi un arco di parabola che parte dal punto (0,-6) fino al punto (2,-2).
Facendo ruotare quell'arco di parabola attorno all'asse z di 2pigreco, si ottiene proprio la porzione di superficie di un paraboloide ( di equazione x^2 + y^2 - 6 = z ).
Facendo variare z tra questa porzione di paraboloide e il piano z = -2, "si riempe" quella parte di paraboloide ( x^2 + y^2 - 6 <= z <= -2 ).
Questo insieme si può sezionare nel modo seguente:
fissato z in [-6, -2], l'intersezione tra l'insieme di integrazione e il piano passante per questo z e parallelo al piano xOy è un disco.
Ora si può spezzare l'integrale triplo in un integrale in dz con estremi -6 e -2 e un integrale doppio che ha come insieme di integrazione il disco sopra menzionato, che varia al variare di z.
L'integrale doppio si può calcolare in coordinate polari.
Il raggio del disco è sqrt ( z + 6 ).
Quindi theta varia tra 0 e 2pigreco e rho varia tra 0 e sqrt ( z + 6 ).
Una volta scritta la funzione integranda in coordinate polari e moltiplicata per rho, dovrebbe essere semplice concludere.
Dovresti incontrare l'integrale di sin^2 che si può calcolare, ad esempio, con la formula di duplicazione del coseno.

[Massimo Gobbino]

Io vedo sostanzialmente due modi equivalenti di farlo, entrambi in coordinate cilindriche.

Il primo, che sostanzialmente è quello di Tiziano, è per sezioni. Si scrive l'insieme nella forma

[tex]z\in[-6,-2],\quad\rho\in[0,\sqrt{z+6}],\quad\theta\in[0,2\pi][/tex]

il che porta a scrivere l'integrale come (senza dimenticare lo jacobiano che cancella il denominatore)

[tex]\displaystyle\int_{-6}^{-2}dz\int_{0}^{\sqrt{z+6}}\rho^4\,d\rho\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta[/tex]

Il secondo modo è per colonne. Si scrive l'insieme nella forma

[tex]\rho\in[0,2],\quad\theta\in[0,2\pi],\quad z\in[\rho^2-6,-2][/tex]

il che porta a scrivere l'integrale come (senza dimenticare lo jacobiano che cancella il denominatore)

[tex]\displaystyle\int_{0}^{2}\rho^4\,d\rho \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta \int_{0}^{\rho^2-6}dz[/tex]

La fatica mi sembra più o meno la stessa nei due casi. Nel secondo c'è il piccolo vantaggio che non bisogna mai integrare radici .

P.S. Già che ci sono, sposto nella sezione giusta.