integrale improprio con parametro

[r.et3]

vorrei un informazione su questo integrale improprio

[tex]\displaystyle\int _{ D }^{ }{ \frac {\arctan(xy) }{ { { (x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ a } } } dxdy\\[/tex]

spezzando l integrale questo diventa :

[tex]\displaystyle\int _{ { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }<1 }^{ }{ \frac {\arctan(xy) }{ { { (x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ a } } } +\int _{ { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }>1 }^{ }{ \frac {\arctan(xy) }{ { { (x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ a } } }[/tex]

il primo converge per a<2
il secondo converge per a>1
quindi l integrale converge per 1<a<2

ho visto a lezione che il caso in cui a<1 va studiato a parte ma non ho capito perchè , potreste darmi una mano ?

[ghisi]

Intanto dovresti dire chi e' D. Senza questa informazione non e' possibile fare nulla. Poi: sei sicuro che al denominatore ci sia [tex]x^2y^2[/tex] e non [tex]x^2+y^2[/tex]?

[r.et3]

il dominio è [tex]D:\left\{ x>0;y>0 \right\}[/tex]
e il denominatore era [tex]x^{ 2 }+{ y }^{ 2 }[/tex]
è l ultimo della lezione di lunedì 16.

[ghisi]

Eccoci. La condizione sul parametro: [tex]\alpha > 0[/tex]. La divisione corretta e' quindi

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\leq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex][tex]+\displaystyle\int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex]

Dato che l'arcotangente a zero si comporta come il suo argomento, il primo integrale si comporta come

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\leq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex]

Questo integrale converge se e solo se [tex]\alpha < 2[/tex], basta passare in coordinate polari.

Vediamo il secondo integrale:

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex] [tex]\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{1}{(x^2 + y^2)^\alpha }dx\, dy[/tex]

Passando in coordinate polari si vede che questo integrale converge per [tex]\alpha > 1[/tex]. Dalla stima precedente NON possiamo dedurre nulla sul comportamento dell'integrale per [tex]\alpha \leq 1[/tex], dato che al primo passaggio abbiamo fatto una stima con un [tex]\leq[/tex]. L'idea e' che per [tex]\alpha \leq 1[/tex] il secondo integrale diverga, quindi ci serve una stima dal basso (non dall'alto). Per fare questo dato che l'arcotangente si annulla sugli assi dobbiamo stare lontani dagli assi. Prendiamo un dominio piu' piccolo [tex]D_1 =\{{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0, \, x \leq y\leq 2x\}[/tex] dove [tex]\arctan(xy)\geq c > 0[/tex]. Allora

[tex]\displaystyle \int_{x^2+y^2\geq 1, \, x\geq 0, \, y\geq 0} \frac{\arctan(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex] [tex]\geq \displaystyle \int_{D_1} \frac{\arctan(xy)}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy \geq \displaystyle \int_{D_1} \frac{c}{(x^2 + y^2)^\alpha} dx\, dy[/tex]

Quest'ultimo integrale diverge quando [tex]\alpha \leq 1[/tex], quindi abbiamo finito: l'integrale di partenza converge se e solo se [tex]1 < \alpha <2[/tex]