Ciao a tutti, se ho un limite del tipo:
come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa , ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre , ma poi non so come trattare il che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.
Limite “distanza”
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- Iscritto il:giovedì 29 dicembre 2016, 18:34 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
- Massimo Gobbino
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Re: Limite “distanza”
Questi limiti sono sempre molto chiari intuitivamente, ma seccanti formalmente.
Le vie di uscita classiche sono due.
La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che
,
cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.
La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione tale che . A meno di sottosuccessioni sappiamo che e ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è , perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).
[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]
Le vie di uscita classiche sono due.
La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che
,
cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.
La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione tale che . A meno di sottosuccessioni sappiamo che e ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è , perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).
[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]
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Re: Limite “distanza”
Grazie! Gentilissimo come al solito!
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni e , e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a e una sottosuccessione che converge a . A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a o a . Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione che tende a , quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione tende a
Ci devo riflettere
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni e , e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a e una sottosuccessione che converge a . A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a o a . Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione che tende a , quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione tende a
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Re: Limite “distanza”
Dubbi legittimissimi ... la teoria non è per nulla banale, e quello che si usa qui è il famoso lemma della sotto-sotto (vedi, per esempio, AM_17 lezione 120).
Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione tale che
e
Per quanto visto sopra sappiamo che esiste tale che
il che forza .
Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione tale che
e
Per quanto visto sopra sappiamo che esiste tale che
il che forza .
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Re: Limite “distanza”
Adesso ho capito!! Grazie mille!
Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che:
Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che:
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