Limite “distanza”

[keine_ahnung]

Ciao a tutti, se ho un limite del tipo:



come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa , ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre , ma poi non so come trattare il che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.

[Massimo Gobbino]

Questi limiti sono sempre molto chiari intuitivamente, ma seccanti formalmente.

Le vie di uscita classiche sono due.

La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che

,

cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.

La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione tale che . A meno di sottosuccessioni sappiamo che e ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è , perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).

[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]

[keine_ahnung]

Grazie! Gentilissimo come al solito!
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni e , e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a e una sottosuccessione che converge a . A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a o a . Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione che tende a , quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione tende a

Ci devo riflettere

[Massimo Gobbino]

Dubbi legittimissimi ... la teoria non è per nulla banale, e quello che si usa qui è il famoso lemma della sotto-sotto (vedi, per esempio, AM_17 lezione 120).

Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione tale che

e

Per quanto visto sopra sappiamo che esiste tale che



il che forza .

[keine_ahnung]

Adesso ho capito!! Grazie mille!

Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che: