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salve, vorrei chiedere una mano su un argomento di analisi matematica II che mi ha lasciato un po' perplesso: lo studio di funzioni in più variabili, è una lacuna che mi è rimasta di base, per quanto conosca la definizione di continuità, derivabilità e differenziabilità non riesco ad applicarlo quando arriva il momento su determinate funzioni.
Per esempio: come faccio ad applicare la definizione di differenziabilità su una funzione definita come f(x,y)=max(|x|,y^2) e valutarne l'effettiva differenziabilità? e per valutarne la continuità?
ho provato a cercare nei libri, come per esempio il Bramanti, ma non ho capito bene come funziona l'applicazione pratica... volevo chiedere se fosse possibile qualche esempio pratico su delle funzioni magari tipo la dimostrazione della loro continuità e differenziabilità, o nel caso la dimostrazione che esse non lo siano.

[Per prima cosa sposto nella sezione giusta ...]

La tua domanda è una di quelle che difficilmente troveranno risposta, perché è equivalente a chiedersi "come faccio a fare i limiti?". Una ricetta universale non c'è ... mentre di esempi particolari ce ne sono ovunque, ad esempio nelle prime 9 lezioni di AM2_16.

Per quanto riguarda la funzione che proponi, si tratta di una funzione banalmente continua in tutto il piano perché è il massimo tra due funzioni continue. Questo è vero ad analisi 1, analisi 2, o più in generale in spazi metrici/topologici, sempre con la stessa dimostrazione.

Per quanto riguarda la differenziabilità, basta disegnarsi le zone in cui vale |x| e le zone in cui vale . Con un po' di precorso si vede che si tratta delle parti di piano delimitate dalle parabole . Al di fuori di quelle parabole è tutto , mentre sulle parabole non esiste nemmeno la derivata parziale rispetto ad x (che è un problema di analisi 1, dal momento che riguarda la restrizione ad una retta).