Limiti "doppi"

[C_Paradise]

Un'altra domanda, forse banale, ma non riesco a farlo vedere formalmente. Se f(x,y) è definita su una palla aperta centrata in (0,0) e
[tex]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=l \in \mathbb{R}[/tex]
possiamo concludere che le seguenti scritture sono sensate e poi corrette
[tex]\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)=\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)=l[/tex]?

È possibile affermare, per esempio, che esiste [tex]r>0[/tex] tale per cui [tex]\forall y \in (-r, r)[/tex] si ha [tex]\lim_{x\to0}f(x,y)=l_y \in \mathbb{R}[/tex] così da avere ben definita l'applicazione [tex]L \colon (-r, r) \to \mathbb{R} \ | \ y \mapsto l_y[/tex]

[Massimo Gobbino]

Ho separato l'argomento perché questo merita una discussione separata. Coraggio, sul questo mi aspetto interventi!

[C_Paradise]

Forse no, prendo [tex]f(x,y)=y\sin(1/x)[/tex], il limite per [tex](x,y) \to (0,0)[/tex] è 0, ma per ogni [tex]y\neq0[/tex] fissato il limite per x non esiste. Possiamo dire qualcosa di generale su [tex]D(y)=\limsup_{x\to0}f(x,y)-\liminf_{x\to0}f(x,y)[/tex] ad [tex]y\neq0[/tex] fissato in un certo intervallo? Per esempio che [tex]\lim_{y\to0}D(y)=0[/tex]?