Scheda Esercizi numero 12

[Nome_utente]

La funzione è:
[tex]x^2y^4z^6[/tex]

Il dominio è:
[tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex] (bordo di una sfera centrata nell'origine con raggio 1)

Viene richiesto il Sup e l'Inf e il NUMERO dei punti di max e min (assoluti).

Essendo il dominio costituito solo da un bordo passo direttamente alla ricerca di punti stazionari proprio su di esso, perciò il sistema con i moltiplicatori di Lagrange risulta essere:
[tex]2xy^4z^6=2x\lambda[/tex];
[tex]4x^2y^3z^6=2y\lambda[/tex];
[tex]6x^2y^4z^5=2z\lambda[/tex];
[tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]

Ho trovato che il [tex]min[/tex] è [tex]0[/tex](che è anche [tex]Inf[/tex]) dai seguenti punti: [tex](0,0,1)[/tex]; [tex](0,0,-1)[/tex]; [tex](0,1,0)[/tex];[tex](0,-1,0)[/tex]; [tex](1,0,0)[/tex]; [tex](-1,0,0)[/tex]
La soluzione però dice che i punti di [tex]min[/tex] sono [tex]infiniti[/tex] e che il [tex]Sup[/tex] é [tex]1/432[/tex] con [tex]8[/tex] punti di [tex]max[/tex].
Non riesco a trovare le soluzioni mancanti, dovrebbero venire fuori dal sistema ma non riesco a trovarle.

[Massimo Gobbino]

Il problema, come spesso accade, è di precorso, cioè nella risoluzione del sistema.

Ad esempio, se il minimo della funzione ti viene 0, come è giusto che sia, allora tutti i punti della sfera con (per esempio) z=0 saranno punti di minimo, per cui dovresti ritrovarli tra le soluzioni del sistema (dove infatti stanno).

Ripensa ai passaggi fatti nel risolvere il sistema e vedrai che c'è qualche semplificazione abusiva.

[Nome_utente]

Riguardando il sistema ci sono riuscito a trovare le soluzioni mancanti.
Con lambda = 0 le prime tre equazioni del sistema sono soddisfatte se almeno una variabile è nulla, da qui trovo gli infiniti punti di minimo.
Con lambda diverso da 0 (e x,y,z anch'essi diversi da 0) trovo che [tex]x=+-sqrt(1/6)[/tex], [tex]y=+-sqrt(1/3)[/tex], [tex]z=+-sqrt(1/2)[/tex]; che inseriti nella funzione mi danno il sup richiesto.

[ghisi]