Scritti d'esame 2020

[Massimo Gobbino]

Qui di sotto i testi degli scritti.

[Massimo Gobbino]

E qui, con geologico ritardo e dubbia utilità, alcune tracce di soluzioni. Ricordo che se uno vuole davvero imparare deve postare e discutere le proprie soluzioni, invece di leggersi le mie.

[g.delsarto2]

prova soluzioni.pdf

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Ciao a tutti!
Ho scritto le soluzione per i primi due esercizi del primo appello, le posto in allegato. Naturalmente non sono sicuro che siano corrette, ed anzi potrebbero contenere degli errori. Qualsiasi correzione o suggerimento è molto apprezzato

[g.delsarto2]

Ciao!
Io posto le mie soluzioni dei primi due esercizi del secondo appello. Purtroppo l'idea di soluzione del punto (b) del secondo esercizio non porta a rispondere completamente alla richiesta dell'esercizio. Tutti i suggerimenti e le correzioni sono apprezzati

[Lorececco]

Per il punto b), se la funzione assume il valore 1 in un punto - diciamo partendo da sotto - non può più scendere perché la derivata da quel punto in poi è sempre non negativa... ed è impossibile tornare a valere

[stefanini.m]

l'idea del troncamento é buona secondo me, ti basta dire che se la u arriva 1 in un certo x0 da li in poi le conviene restarci e quindi non riscenderebbe mai fino ad a.

[g.delsarto2]

Giusto! Grazie ad entrambi!!!

[Lorececco]

Riguardo invece all'esercizio 3 c'è una cosa che mi ha turbato per un po' di tempo (con conseguente non risoluzione dell'esercizio ): chi mi garantisce l'esistenza di successioni "suppizzanti"?
Mi spiego meglio. Prendiamo ad esempio la prima domanda: vogliamo trovare condizioni per far sì che . Ora il procedimento naturale è: ci mettiamo in e cerchiamo il minimo per cui valga l'immersione in (per quelli più grandi è ancora più facile). A questo punto uno vorrebbe ricondursi a con un discorso del tipo: prendo una successione suppizzante là dentro a valori finiti, queste funzioni hanno momento quinto, dunque p-esimo, dunque stanno in e ho finito. Ma se invece l'insieme dei valori assunti da con quei vincoli fosse una cosa del tipo ? In questo caso non saprei come concludere. Come si dimostra che questa cosa bizzarra non accade, rispettando i vincoli?

[g.delsarto2]

Ciao Scusa, forse non ho capito bene la tua domanda, ma nel punto (a) perché cerchi una successione "suppizzante"? Dopo che hai dimostrato che quel sup è finito secondo me non c'è bisogno di esibire la successione. Posso anche aver preso un abbaglio

[Lorececco]

Perché ho dimostrato la tesi per quelle in , che però non contiene ma magari sto dicendo una sciocchezza eh!
Con sarebbe stato tutto giustificato invece

[g.delsarto2]

mmh, ora ho capito il tuo dubbio, ci penso

[Massimo Gobbino]

[stefanini.m]

Dato che ci sono posto la mia soluzione dell'esercizio 4 del secondo appello. Spero nel punto d di aver chiarito bene tutti i passaggi.

EDIT: non mi aveva compilato l'ultimo pezzo. ho caricato il file aggiornato.

[stefanini.m]

Secondo me fai prima a esibire direttamente una u che funziona. Provo a darti un int: cerca una funzione radiale tipo . Buon lavoro nel sistemare l'esponente in modo che stia in ma non in . c e d li usi per sistemare le condizioni al bordo. Ti faccio anche notare che c viene necessariamente positivo e questo ti aiuta ad avere più infinito.

[Giovanni Bruno]

Dubbio sul punto B dell'esercizio 3 del secondo appello, ho pensato ad una soluzione simile:
Prendo un p in modo tale che non si immerge in , allora esiste una funzione che ha norma p finita ma norma 5 infinita (Qualcuno che mi può dare un esempio di una tale funzione?). Ora questa non necessariamente sta in però posso approsimmare deluxe e trovo in che tende in norma p alla funzione, ora posso aggiungere costanti e moltiplicare per coefficienti in modo che la successione rispetti i vincoli. La convergenza p implica puntuale quasi ovunque quindi tende puntualmente a . Da qui concluderei con il lemma di Fatou. Questo ragionamento però non mi convince, qualcuno che può aiutarmi?