L'inverter del laplaciano è compatto

[aleM]

Alla fine della lezione 48 abbiamo visto l'esempio dell'operatore che ad una associa l'unica che è soluzione debole di .

A questo punto se è limitato, per mostrare la compattezza di vorrei usare l'immersione compatta . In partenza ho una successione limitata , e da qui vorrei una limitazione in norma per , per poi applicare l'immersione compatta ed estrarre la sottosuccessione convergente in .

Se è buono, con la regolarità controllo le norme delle derivate seconde con .

Inoltre la Poincaré mi dice che .

Per concludere servirebbe una stima su , verosimilmente da ricavare da quella sulle derivate seconde, ma in che modo? Con una Poincaré iterata, anche se le stanno solo in e non in ?

[Massimo Gobbino]

Sì, serve proprio una stima sul gradiente.

In dimensione uno questa si ricava abbastanza facilmente da quella sulle derivate seconde. Come? Perché?

L'idea però non mi pare che si ricicli in dimensione più alta, e per quanto ne so io bisogna fare un altro giro. Qualcuno vuole contribuire?

[aleM]

in dimensione 1 direi innanzitutto che le per immersione sono 1/2-holderiane, quindi nulle al bordo dato che sono . Poi la stima sulle mi dice che le stanno anche in , e quindi le stanno in , dunque anche loro sono 1/2-holderiane.

La stima sulle derivate seconde inoltre mi dice che le sono equi-1/2-holderiane con costante maggiorata da quell'.

A questo punto si ottiene una stima addirittura per le derivate: per ogni esiste un punto tale che perché le sono nulle al bordo (Rolle), quindi .

[Massimo Gobbino]

Già, il buon Rolle è proprio quello che non possiamo usare così facilmente in dimensione più alta.

[Massimo Gobbino]

Ecco un aiutino per avere la stima sul gradiente. Invito ad espandere i dettagli.

[aleM]

Forse ci sono, presa una qualunque di quelle (chiamiamola per semplicità), si ha , ora si integra su ottenendo (Cauchy-Schwarz + limitazione di f + Poincaré).

A questo punto si integra per parti il LHS e si ha con la parte di bordo che è nulla per le condizioni al bordo di .

Metto insieme: che implica la limitazione L2 del gradiente.

Il passaggio per parti è giustificato dalla regolarità L2, cioè possiamo usare Gauss Green sulle approssimanti e passare al limite scegliendo approssimanti per la e approssimanti per il laplaciano, giusto?