Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

[s.rotundo1]

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano Hilbert separabile, chiuso, . Determinare se è vero che esiste t.c. per ogni .

Vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.

[C_Paradise]

Ciao! Non mi tornano le ultime due righe, ad esempio se prendo ho che tutti i punti di sono di minimo. L’esempio si dovrebbe sistemare prendendo e considerando sempre , ti convince? In ogni caso non sto dicendo che il tuo esempio non va bene, ma che quanto scritto nelle ultime due righe non sembra funzionare per 0..

[s.rotundo1]

Giusto! Avevo appena detto che può essere convergente solo ad elementi di . In effetti l'origine rovina tutto.
Ti ringrazio per il suggerimento.
Prendiamo .
Sia successione. Allora per ogni si ha che esiste tale che con tale che se allora .
è dunque una successione in .
Se esistono e tali che frequentemente allora non ha limite e dunque non lo ha neanche , oppure ha limite uguale a un certo per (e pertanto si avrà anche ). In quest'ultimo caso .
Se invece definitivamente si ha che se , allora , si può dedurre che
.
Per cui non può essere di Cauchy e dunque non può convergere.
Tutto ciò ci dice che è chiuso.
Sia dunque e sia una successione minimizzante. Qualora convergesse, convergerebbe a un certo con della base hilbertiana.
Ma , per cui abbiamo un assurdo.