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Riporto il testo dell'esercizio.
Sia un numero reale. Consideriamo con la norma definita da per ogni

a) Verificare che questa sia una vera norma su ;
b) Dimostrare che, per ogni chiuso non vuoto e per ogni esiste che minimizzi la distanza da ;
c) Determinare se i punti di minimo sono unici nel caso si convesso;
d) Discutere le richieste precedenti per la norma .

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

Qui mi sarei aspettato vivaci proteste, e invece tutto tace .

Provo a dire qualcosa, il problema secondo me è che i punti che minimizzano in norma non è detto che minimizzino anche in norma . Di conseguenza quando usi la regola del parallelogramma non si può dire che dove perché sappiamo solo che e anzi e possono essere diversi. In effetti se prendiamo e tutti i punti di sono punti di minimo rispetto alla distanza .

Un modo per dimostrare l’unicità del minimo quando è quello di usare che in questo caso la norma è strettamente convessa e quindi il punto medio se sono diversi è un competitor migliore. Questo fatto si dovrebbe riflettere sulla proprietà geometrica del bordo delle palle di non avere tratti “rettilinei” cioè di non avere punti di bordo che non sono estremali.

Colgo l’occasione per fare una domanda a cui non sono riuscito a rispondere. È sempre vero che se ho uno spazio con due norme che lo rendono di Banach e che sono equivalenti allora le sfere unitarie corrispondenti sono omeomorfe? E in caso affermativo si può trovare un omeomorfismo di tutto lo spazio che porta una sfera nell’altra? In dimensione finita mi sembra che la prima parte si possa dimostrare dicendo che due convessi compatti con parte interna non vuota sono omeomorfi..

Riguardo all’ultima domanda che ho fatto mi sono accorto che non è difficile e purtroppo me ne accorgo solo ora, comunque se le norme sono e allora la mappa che manda in se e che manda zero in zero dovrebbe andare bene..