Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.2

[s.rotundo1]

Riporto il testo dell'esercizio.
Sia con la norma definita da per ogni .

a)Verificare che sia una vera norma su ;
b)Dimostrare che per ogni chiuso non vuoto esiste che minimizzi la distanza da ;
c)Trovare l'insieme dei punti di minimo per i seguenti sottoinsiemi chiusi convessi:
1-
2-
3-
4-
5-

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

[Massimo Gobbino]

Non ho controllato i conti (un po' mi fido, un po' spero che altri lo facciano). Mi limito ad un paio di osservazioni, sperando che possano essere utili.

Nel punto (b) occorre qualche cautela quando si parla di "chiuso" e "compatto". Infatti ora c'è una norma strana, e qualche parolina andrebbe detta.

Nel punto (c), mi piace segnalare l'interpretazione geometrica. Pensiamo mentalmente alla famiglia di palle con centro nel punto dato e raggi crescenti. Ad un certo punto queste palle toccano l'insieme K. In quel momento di primo contatto i punti di intersezione sono i minimi richiesti.