Rellich-Kondrakov per p=1

[tommy1996q]

Nella dimostrazione di Rellich-Kondrachov per si usa il teorema di Ascoli Arzelà versione . Quando si vuole dimostrare l’equicontinuità nel senso delle traslazioni, spezziamo l’integrale come fatto su meno un compatto ben contenuto e su questo compatto, e rendevamo piccoli entrambi in norma , per poi concludere con un argomento di interpolazione. Nel caso del termine dove integriamo su , però, la piccolezza viene dal termine , e nel caso non dovrebbe funzionare. A questo punto, non si potrebbe sistemare la cosa prendendo un’estensione della funzione e usando che ?

[Massimo Gobbino]

Boh, sì, ma uno non vorrebbe sempre dipendere dagli extender.

Forse si può più comodamente osservare che quella stima usa che u sta in , e per immersione u non sta mai veramente solo in .

Torna?

[tommy1996q]

Giusto! Non ci avevo proprio pensato!

[stefanini.m]

Sfrutto il post giá esistente per aggiungere due ulteriori dubbi:
1) Nel caso della stima in si ottiene per le funzioni . Perché poi suggerisce di concludere utilizzando l'approssimazione low-cost? Questa situazione non é l'ideale per usare Mayers-Serrin?
2) Per guadagnare il caso q generico usa una disuguaglianza di interpolazione (se non erro non dimostrata). Per curiositá si tratta di disuglianze sullo stile di Marcinkiewcz e Riesz-Thorin?

[Massimo Gobbino]

[stefanini.m]

Chiedo Scusa per il punro 2) l'ho vista così e quell'alfa mi ha richiamato Riesz-Thorin senza pensare a Holder. Brutto vizio di pensare prima al peggio