Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

[tommy1996q]

Nella lezione del 5/11 si dava un esempio di funzione che stava in ma non in con . La funzione è . Quando se ne calcola il gradiente, la sua norma elevata alla dovrebbe essere una cosa del tipo . Il problema è che andando a integrare mi verrebbe divergente. Probabilmente sto sbagliando una sciocchezza che però non riesco a individuare. Non ho capito, in particolare, cosa si intenda per , se la norma del vettore o il logaritmo di .

Chiederei aiuto anche per un'altra questione: a un certo punto, in un altro esempio di minimalità, si faceva riferimento a . Questo me lo ricordo distintamente. Il problema è che ho spulciato per 3 volte tutti gli appunti e non ho trovato niente. Se qualcuno ha qualche indizio su dove si trovi quell'esempio, mi aiuterebbe non poco (ovviamente cancellerò quest'ultima parte una volta trovato)

[Massimo Gobbino]

Quell'esempio è un errore mio, veniale perché si corregge facilmente. Quella funzione ha il comportamento giusto nell'origine e all'infinito; il problema è l'annullamento del logaritmo anche in 1. Si rimedia facilmente considerando la funzione



Aggiungendo 1 ed il quadrato nel denominatore si evita il problema quando , e si sistema anche il caso p=1.

Il doppio logaritmo è alla fine della lezione 30, e serviva per mostrare che le funzioni in del disco nel piano possono non essere limitate. In realtà basta un logaritmo solo, purché elevato alla potenza opportuna. Nel disco in dimensione 2 la funzione



sta in ma non è limitata per ogni . L'esempio si generalizza facilmente a tutte le dimensioni. La funzione



ha il pregio di andare bene in tutte le dimensioni (sta in ma non è limitata).

[Firnen]

Il +1 aggiunto non dovrebbe essere nell'argomento del logaritmo? Grazie a questo esempio son stati costruiti i controesempi ( traslazioni e sistemazione degli indici) dell' esercizio 4 dello scritto 5? Come si riscalano precisamente e da dove nasce l'idea per il caso p<2 ?

[Massimo Gobbino]