Scritti d'esame 2019

[Massimo Gobbino]

Qui di seguito i testi degli scritti.

[Massimo Gobbino]

E qui sotto, con relativa calma e geologico ritardo, le tracce di soluzioni.

Quindi tanto vale aprire la discussione!

[tommy1996q]

Provo a scrivere la soluzione al primo esercizio.

[Massimo Gobbino]

[FraMatte]

Provo ad impostare una soluzione alternativa al quarto esercizio. Consideriamo le seguenti disuguaglianze:

Nella prima si è usato che il seno è sempre minore uguale ad uno e nella seconda il fatto che l'esponenziale sia maggiore uguale ad 1 nel dominio del problema e che il coseno sia sempre maggiore o uguale a -1. Voglio ora provare che vale la seguente disuguaglianza:

Se la disuguaglianza è banalmente vera, altrimenti divido per e studio, sulla falsariga della dimostrazione della disuguaglianza di Poincarè - Wirtiger, il seguente problema di minimo

Da qui in avanti, sempre che non abbia avuto sviste, dovrebbe essere una normale applicazione del metodo diretto.

[Massimo Gobbino]

[Albus23]

Ho una domanda sulla soluzione del terzo esercizio nel primo compito.
Trattandosi di un dominio arbitrario (non tutto le spazio o un semispazio) la stima che abbiamo ricavato nella lezione 46 coinvolge anche la norma nello spazio di u che nella soluzione non compare. Come funziona?

[gino]

Il fatto che si annulli al bordo dovrebbe garantire un'estensione tranquilla a tutto , oppure direttamente essere a supporto compatto in omega implica esserlo su tutto il piano.

[gino]

nel punto 3a del compito del 23 febbraio.
palla aperta in , tali che dire se
è un max.
Non riesco a riformulare il problema in termini di un problema di minimo per applicare il metodo diretto come suggerito nella soluzione probabilmente mi sfugge qualcosa di semplice.
Alternativamente potrebbe andar bene una soluzione di questo tipo.
Considero una successione suppizzante , in particolare essendo la successione è limitata in norma
quindi ammette una sottosuccessione che converge debolmente a (la funzione che definisce è convessa più SCI forte). Ora dal momento che l'immersione è compatta ammette una sottosuccessione che converge in norma . Senza rinominare la sottosuccessione ottengo converge in norma quindi . E in realtà anche qui mi rimane oscuro perchè il limite in sia lo stesso che in , stavo pensando se in qualche modo il duale di contenesse il duale di in modo da poter dedurre la convergenza debole al limite debole della successione in anche in (ovviamente per restrizione da un funzionale lineare su ne ottengo uno su , ma è continuo?)

[Massimo Gobbino]

E perché mai il metodo diretto si applicherebbe solo ai problemi di minimo?

Cosa intendi poi qui con convergenza debole? Dove?

[gino]

[Massimo Gobbino]

Boh, a me sembra tutto molto più semplice, e non serve nemmeno mettere un segno meno davanti.

Basta prendere una successione suppizzante, osservare che è limitata in per colpa o merito del vincolo, quindi per immersione compatta ammette una sotto-successione convergente in , e per continuità del resto dedurre che il limite è proprio un punto di massimo cercato. Praticamente è la solita dimostrazione di Weierstrass.

[gino]

Chiaro, grazie mille.

La domanda, forse stupida, che mi rimane è quando scriviamo per continuità, cioè in la successione converge debolmente e l'operatore di immersione è un operatore compatto tra due banach quindi perchè ho la continuità weak-strong?

Cioè siamo arrivati ad avere una successione che converge forte il e debole in perchè il limite è lo stesso secondo le due nozioni di convergenza? ( Penso non possa succedere che il limite sia diverso, al massimo esiste in un caso e nell'altro no però non riesco a vederlo)

[Massimo Gobbino]

[gino]

Ok, su quello ci sono però forse quello che mi manca è un passaggio stupido, noi stavamo studiando il problema di massimo in e abbiamo trovato che realizza il sup in ; non vorrei che ? per questo tiravo fuori che volevo che le convergessero anche debole

Provo a pensare alle altre domande nel frattempo, grazie per la pazienza.