Lezione 70. Erroneamente nella seconda pagina c'è scritto che una base di autovettori del Dirichlet Laplacian nell'intervallo è . Dopo un po' mi accorgo che deve essere n dispari, per avere l'annullamento al bordo.
Il fatto è che questi non bastano. Facendo il conto per bene, come fatto nel caso di , si vede che gli autovalori sono i quadrati degli interi positivi, ma gli autovettori sono per n dispari e per n pari.
Ho segnalato la cosa nel file pdf, ma chi l'ha scaricato oggi (17 dicembre 2019) non ha la correzione. Idem per il volume 3 dello stampato integrale. Da questo momento sono aggiornati, quindi consiglio di scaricarli nuovamente.
Dal punto di vista matematico non cambia molto, se non che bisogna considerare, quando si passa al quadrato, tutti i prodotti possibili tra seni e coseni. Allora tanto vale lavorare direttamente nel quadrato , facendo la traccia per , cosa che non avevo fatto nella speranza di evitare di distinguere i casi pari/dispari.
); immagino che dunque la domanda sia: alla fine, gli aperti risparmiosi ricoprono? Questo è vero e segue dalla 
). Per ogni coppia di punti fisso una palla che li contiene entrambi. Allora qui le (dunque uniformemente continua) e posso approssimare via convoluzione, con le che convergono uniformemente. A questo punto basta fare la solita stima col gradiente + combinazione convessa e passare al limite per , osservando che non si paga la dipendenza da e dunque vale per ogni .
) e svolgendo i conti