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Alla lezione 44 si dice che se l'area sottesa dalla curva cartesiana , con estremi fissati tali che con , è area allora la lunghezza della curva è sicuramente maggiore o uguale di , non ho capito perchè è vero. (Se abbiamo visto che ciò è vero, ma non riesco a capire perchè questo fatto è vero anche se consideriamo un intervallo più piccolo)

Hai perfettamente ragione. Quel punto, così com'è scritto, è sbagliato. Me ne sono accorto una volta che uno ha presentato l'argomento all'esame (non accorgendosene), e poi mi sono dimenticato di provare a risistemarlo, cosa che però non mi sembra ovvia.

L'amico e collega Paolo Tilli ha trovato una soluzione davvero elegante al problema dello stadio, che non richiede nemmeno il taglio in alto.

Indicata l'area con , la soluzione si basa sulle disuguaglianze



dove la prima disuguaglianza segue da Cauchy-Schwarz applicata ai vettori

e

(si noti che il secondo vettore ha norma 1), mentre l'uguaglianza segue da una integrazione per parti e dal fatto che è nulla al bordo.

Vale la pena notare che questo stesso sistema mostra l'ottimalità anche della semicirconferenza nel caso , e dice sostanzialmente anche che lo stadio è l'unica configurazione che realizza l'inf. In fondo, si tratta della solita calibrazione, che finisce per calibrare pure tutti gli stadi!

Grazie mille davvero