Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..
Inviato: martedì 18 settembre 2018, 22:17
Carissimi,
Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass "globali", ovvero con una famiglia con che varia in tutto invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione . Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale con , (domanda: lo richiediamo per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero . Continua a esser crescente in , a verificare l'equazione a fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.
Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia , e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo soluzione di ELE valgano . Allora è GM (senza convessità!!).
Dimostrazione: Sia un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia questo campo di Weierstrass globale, e la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$
E niente... Voi ci credete?
Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass "globali", ovvero con una famiglia con che varia in tutto invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione . Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale con , (domanda: lo richiediamo per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero . Continua a esser crescente in , a verificare l'equazione a fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.
Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia , e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo soluzione di ELE valgano . Allora è GM (senza convessità!!).
Dimostrazione: Sia un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia questo campo di Weierstrass globale, e la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$
E niente... Voi ci credete?