Equicoercività

[FApples97]

Alla fine della lezione 24 del 2018 si dice che l'insieme



è il "compattone" che fornisce l'equicoercività delle

.

Non ho capito il motivo per cui è vero.
Grazie mille.

[Massimo Gobbino]

Visto che non risponde nessuno, rispondo io.

In effetti in quel punto ho tirato via un po' in fretta, perché il tempo stava scadendo

Nella definizione del "compattone" serve ovviamente anche qualcosa che "limiti le funzioni", e non solo le derivate. Quindi uno osserva che della funzione identicamente nulla è minore o uguale di 327, oppure anche di 3, e a quel punto può usare

[FApples97]

Grazie mille.

[FApples97]

Scusate per i tanti dubbi.
Quando si parla di gamma convergenza e di equicoercività, ad esempio nella situazione di questo post, quale è la nozione di convergenza delle funzioni? Ad esempio, nell'esercizio di sopra per dimostrare che effettivamente quel "compattone" è compatto, dovrei dimostrare che presa una successione a valori nel "compattone" esiste una sottosuccessione convergente ad una funzione nel "compattone". Ma convergente secondo quale nozione di convergenza ? o la solita?

[teremin]

Non vorrei dirti cavolate, ma mi pare che l'ambientazione della gamma convergenza sia in uno spazio metrico (si usa ad esempio la nozione di aperto e di palle in certi lemmi, come quello che gli inf su un aperto delle possono solo crollare al liminf). Quindi ti direi che dovresti usare la . Ad esempio, per la dimostrazione della convergenza di quasi minimi n-esimi a un minimo del gamma liminf si usa quel lemma che menzionavo tra parentesi. A meno di rivedere la teoria ad hoc...

Però ti faccio notare che se date delle u_n in K riesci a estrarre una sottosuccessione convergente rispetto alla solita, hai anche naturalmente la (hai trovato un convergente uniformemente ad una u!).

Comunque colgo l'occasione per sollevare una domanda interessante: come facciamo a dimostrare che la nozione di convergenza solita, anche in un Hilbert qualsiasi, non proviene da quella di uno spazio metrico?

Sulla convergenza uniforme delle funzioni, visto che sono dunque continue su un compatto è la norma infinito (no problemz)
Sulla convergenza debole, stavo pensando che è un operatore continuo (rispetto alla norma L^2) e lineare da H^1 a , ma purtroppo H^1 non è compatto e non si può prendere il max, ma se potessimo mi sembra che darebbe proprio la stessa nozione di convergenza (che dite?). E se per caso la convergenza debole potesse essere testata su una classe -compatta di funzioni? Il fatto è che tutte le proprietà che mi vengono in mente che una nozione metrica rispetta sono rispettate anche dalla convergenza debole, ad esempio:
1. Se , allora ;
2. Unicità del limite;
3. Per cogliere in un certo senso il fatto delle palle, l'unica che mi è venuta in mente è: se e allora per ogni vale (con il disegnino delle palle è semplice da vedere in un metrico, ma a priori può sembrare strana).

Ciao!
Andrea

P.S: rinnovo la mia questione latex: c'è una scorciatoia a [latex] ?

[Massimo Gobbino]

[DanieleT]

Lezione 41 - 2017/2018

Nell'esempio 1 della lezione indicata qual è il compatto per l' equicoercività?

[Massimo Gobbino]

[DanieleT]

Chiamiamo questo compatto e, come nella lezione, chiamiamo la famiglia di funzionali che vogliamo mostrare essere equicoercivi su .

Se ho capito bene il fatto che una stima su ogni singolo funzionale implica una stima sulle norme delle derivate basta a dimostrare l'equicoercività perché mostra che per ogni fissato esiste un sottolivello di contenuto in , da cui segue facilmente l'equicoercività.

E' ciò che intendeva?

[Massimo Gobbino]

[DanieleT]

La ringrazio!