Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

[Sciabolight]

Non riesco a risolvere il punto b dell'esercizio in questione. Infatti la lagrangiana considerata non è convessa in p e questo crea problemi quando si applica il metodo diretto e si vuole verificare la semicontinuità.
Inoltre, non ho idea di quale possa essere un riscalamento opportuno per le funzioni, dopo averle traslate in modo che i dati al bordo siano 0 (ammesso che sia una scelta sensata). Qualche idea? Esistono delle soluzioni pubblicate in rete dei compiti d'esame?

[Crusp]

Ciao!

Per quanto riguarda la prima domanda mi sembra che basti osservare che la lagrangiana ha crescita sopraquadratica:

tali che .

Da qui dovresti concludere la Sci!

L'altro punto non l'ho ancora visto ( e in realtà non sono ancora molto capace a fare gli esercizi di quel tipo).

[Crusp]

Non vorrei dire una fesseria, ma credo non ci sia bisogno di riscalamento, in quel caso.

Mi sembra che il funzionale gamma converge in al funzionale senza il termine con la . Più tari provo a e verificarlo e in caso ti faccio sapere.


EDIT: Qui ho sicuramente detto una fesseria, ci penso più tardi!

[Sciabolight]

Non capisco come si faccia a concludere la SCI dall'ipotesi di crescita almeno quadratica. Usando la tua stima, si trova che per A e B opportuni.
E poi?

[Crusp]

Mi sa che devo imparare a scrivere le cose per bene prima di parlare

[Crusp]

Mi sembra di aver trovato un'osservazione utile per la risoluzione del punto b).

Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione che rispetta le DBC :

1) Si mostra che esiste soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore con nulla al bordo, si calcola e si mostra che sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente e quindi per ogni valore di l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se in che soddisfa le DBC è tale che allora quasi ovunque e quindi è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è . Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo.

Per quanto riguarda il punto b:

Direi che per ogni fissato l'inf del nostro problema è il minimo del funzionale che ora introdurrò:

Chiamato il funzionale - esteso a al di fuori di - si osserva che il suo rilassato è ( in e altrimenti) con . ( In realtà dovrei ancora verificare questa affermazione: sicuramente in è quello lì il rilassato perché la funzione ha crescita sopra quadratica. Dovrei verificare però che la dimostrazione che abbiamo fatto in classe va bene pure se abbiamo le DBC).

Si ha quindi che inf = inf. Però in realtà per l'inf di è in realtà un minimo in :

- la compattezza dei sottolivelli la si vede sfruttando il fatto che anche il convessificato ha crescita sopra quadratica;

- la Sci è gratis questa volta perché il convessificato è convesso.

Dici che torna? Spero di non aver detto delle cavolate.

Se a questo punto riuscissimo a dire che il minimo in non può essere minimo per il funzionale avremmo risposto alla domanda del punto b: l'inf non è un minimo.

[Andrea_s]

[Crusp]

Grazie mille! Non riesco a capire come sia riuscito a scrivere così tante fesserie.

Per mostrare che che inf di con DBC è basta in effetti anche osservare che:

Prendo nulla al bordo e negativa e tale che è minore di 0.

Si osserva quindi che .

Se quindi consideriamo una famiglia di funzioni = osserviamo che esse rispettano le DBC e il funzionale tende a (se valutato lungo esse) per che tende ad infinito.

[Massimo Gobbino]

Uhm, sono davvero stupito dalle difficoltà che sta creando questo esercizio , che si risolve in poche righe.

[Crusp]

Grazie!

Rispondo intanto ai primi 2 punti:

a)

L'inf è sempre reale perché la lagrangiana è limitata dal basso dalla funzione per un certo R, >0.

b)

Se per assurdo ci fosse un punto di minimo allora la sua derivata si annullerebbe in un certo perché altrimenti la funzione sarebbe strettamente monotona e quindi non potrebbe avere DBC con lo stesso valore.

La condizione (L) fallirebbe perché a quel punto avremmo .

[Massimo Gobbino]

[Crusp]

Per quanto riguarda il punto c:

EDIT: Ho cancellato la prima parte, pura farneticazione.

Risoluzione punto c) esercizio:

Sia Y= u soddisfa le BC .

Sia in .

Sia . Si vuole mostrare che .

Per farlo basta osservare che:

min (in è ottenuto valutando nella funzione identicamente nulla ed è uguale a .

Quindi:

per ogni e per ogni , quindi liminf .

D'altra parte, considerando una famiglia di funzioni costruita in questo modo:

Si parte da 2017 con derivata fino ad arrivare a 0, poi si fa un bel pezzetto lungo l'asse x e poi si risale con la stessa derivata in modo da essere per in 2017. (E' chiaro che questo lo possiamo fare per abbastanza piccolo).

Si ha che:

liminf liminf limsup

= limsup .

Quindi il leading term cercato è .