necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

[Andrea_s]

Buonasera a tutto il forum, ho delle difficoltà nello svolgere la parte b dell'esercizio 3 dell' esame di elementi di calcolo delle variazioni del 23 settembre 2017.
Ecco il testo



(a) Determine for which values of the infimum is actually a minimum.
(b) Determine for which values of the minimum exists and is negative.

un breve sketch delle mie considerazioni sulla situazione
(a) se cos(x) è negativo ho una situazione analoga al caso che ha infimum -infinito,
se cos(x) è positivo il minimo esiste per applicazione del metodo diretto
(b) osservo che l'integrale appliccato alla funzione nulla u0 è nullo, studiando la variazione seconda di u0 concludo che per
u0 non è un weak local minimum, quindi il minimum deve essere negativo.
Il mio problema è che non so che considerazioni posso fare per l<Pi, dove u0 è addirittura uno strong local minimum....
Ogni suggerimento è super gradito

[Massimo Gobbino]

Ho spostato nella sezione di CdV per renderlo più visibile ai potenziali interessati.

(a) Ma allora quali sono i valori del parametro per cui il minimo esiste?

(b) Ma quale sarebbe la variazione seconda calcolata nella funzione nulla? Quando ha un segno?

[Crusp]

Provo a dare una risposta al punto (b):

(Purtroppo non sono capace di metterlo come spoiler) [EDIT by Massimo Gobbino: l'ho fatto io e ho anche aggiunto un pezzettino mancante in una formula]

[Andrea_s]

Buonasera,

ehm si in effetti avrei dovuto scrivere in questa sezione del forum .

@Crusp
Eh si...mi torna tutto quello che hai scritto... non mi sarebbe mai venuto in mente di usare una funzione ausiliaria per risolvere il problema... e grazie mille che ti sei preso la briga di spendere del tempo per rispondermi .
Tra l'altro mi sa che si possa anche evitare di calcolare , osservando che la lagrangiana di è convessa rispetto alle variabili e , e quindi, insieme al fatto che verifica la ELE di e le condizioni al bordo, concludere che è in effetti un minimo di .

[Andrea_s]

Tuttavia ora che ci penso meglio sorge un problema non da poco usando la funzione ausiliaria , ovvero con vale , quindi quello che si prova davvero è che ... e non basta per risolvere il problema

[Andrea_s]

[Massimo Gobbino]

[Andrea_s]

Grazie mille dell'aiuto

[Crusp]

Grazie a entrambi!