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Iniziamo con il primo esercizio.

(a) Il procedimento è sostanzialmente corretto, ma non mi sembra che la soluzione trovata verifichi la NBC.

(b) Nel sistema trovato non è correttissimo chiamare DBC e NBC le condizioni trovate, in quanto riguardano relazioni tra i valori nei due estremi. Qui si tratta di una specie di PBC, ma anche questo non è adattissimo come nome. A parte la terminologia, che lascia il tempo che trova, qui c'è però un problema sostanziale. Il fatto che il sistema non abbia soluzioni è un sintomo, non una diagnosi. In questi casi occorre stabilire cosa accade, cioè rispondere alle domande di sempre: esiste il minimo? se sì, chi lo realizza? se no, qual è l'inf?

Per il terzo esercizio del secondo compito provo a dare qualche suggerimento sperando di non aver preso abbagli

Punto 1) Guardando la forma quadratica associata dovrebbe essere facile dedurre che per la funzione nulla è WLM (abbiamo le condizioni ) e per non è WLM (salta l’implicazione ).

Per tutte le condizioni necessarie sono soddisfatte e nessuna delle sufficienti lo è, quindi bisogna fare di meglio. Dico che non è WLM e per farlo considero la successione (che verifica i dati al bordo) e ora sviluppando l’arcotangente e il seno quanto basta si vede che si va sotto zero.

Punto 2) Motto: non devi pagare di derivata perché offre l’arcotangente.
Si possono considerare le funzioni in e raccordate linearmente a zero fuori.

Punto 3) L’inf è maggiore o uguale a , riadattando la successione del punto 2) si mostra che è proprio (in particolare non può essere minimo).

Se servono più dettagli o c’è qualcosa che non ti convince chiedi pure, vista l’ora sono stato un po’ stringato

Passiamo al secondo esercizio.

Una volta scritta la formulazione variazionale mi pare che sia tutto completamente standard. L'unica osservazione utile è che



Nello scrivere la soluzione, occorre prestare attenzione a verificare che la NBC che nasce è esattamente quella voluta. Questo è semplice ma non ovvio.

Quanto alla strategia con cambio di variabili, mi sembra perfettamente praticabile. Basta porre , vedere quale equazione deve risolvere e formularla variazionalmente. Poi si applica il metodo diretto come sempre.

Volendo essere creativi, va bene anche .

Lascerei i dettagli a qualche volonteroso.

Sul terzo esercizio ho davvero poco da aggiungere al post di C_Paradise, se non i ringraziamenti per l'arcotangente che paga per tutti e l'invito ad interpretare il punto (c) in termini di rilassamento.

Passiamo infine al quarto esercizio.

Sul punto (a) sono abbastanza d'accordo, ma la funzione di cui serve la monotonia in fase di regolarità (e poi monotonia non basta) non è quella citata.

Sul punto (b) sono abbastanza d'accordo sulle linee generali, ma non sulla discussione precorsistica del segno del coseno.

Sul punto (c) sono ancora abbastanza d'accordo sulle linee generali, ma servirebbero più dettagli sulle BC del problema limite, e probabilmente anche un po' di equicoercività.

Grazie mille ad entrambi per le risposte. Riguardando ciò che ho scritto, mi son accorto di aver fatto un'infintà di errori di distrazione . Devo sistemare i post precedenti per rendere più pulita la lettura?

Posto qui alcune tracce di soluzioni, utili solo a chi ha già provato a svolgere gli esercizi. Sono benvenute le segnalazioni di errori.

CdV_18_CS1_Sol.pdf

Scritto 2018-1 -- Tracce di soluzioni

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CdV_17_CS2_Sol.pdf

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CdV_18_CS3_Sol.pdf

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CdV_18_CS4_Sol.pdf

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CdV_18_CS5_Sol.pdf

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CdV_18_CS6_sol.pdf

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