Local minima 1

[Carmine]

Professore,

potrei chiedere un piccolo indizio sull'esercizio 3.b.? Pensavo di dimostrare che per [tex]\varepsilon[/tex] piccolo abbastanza valgono le condizioni [tex]L^+[/tex] e [tex]J^+[/tex], ma non riesco a trovare un minimo direzionale. Ho provato anche considerando il funzionale:

[tex]\displaystyle G(u)=\int_0^1 \dot{u}^2 + u^2 \ dx[/tex]

che ammette minimo globale facile da calcolare, ma scrivendo [tex]F(u_0+v)-F(u_0)[/tex] non riesco a ottenere granchè.

I metodi di linearizzazione non mi sembrano utili in questo caso, in quanto per ogni [tex]\varepsilon[/tex] non vi sono minimi forti, e in ogni caso l'eulero non mi sembra facilmente risolvibile.

Nemmeno i risultati di esistenza e unicità mi sembrano utili, in quanto l'Eulero diff. coi dati al bordo è un BVP, non un problema di Cauchy...

C'è qualcosa che sicuramente mi sfugge, visti i prerequisiti e la difficoltà (non esagerata) che è stata attribuita all'esercizio.

[Massimo Gobbino]

Uhm, mi piacerebbe non essere sempre solo io a rispondere ... anche perché non sempre posso farlo velocemente.

In quel caso io farei così. Per epsilon piccolo la parte con la derivata è convessa in [-3000,3000]. Modifico fuori da quell'intervallo in modo che sia convessa ovunque e minimizzo: no problem via metodo diretto. Ora dico che il minimo di quel problema modificato è WLM per quello originario (usando come intorno quello che tiene la derivata tra -3000 e 3000). L'unica cosa che devo dimostrare è che la derivata del minimizer del problema ausiliario sta sempre tra -2999 e 2999 (quindi essere WLM per il problema ausiliario o originario è equivalente). Per questo ODEs che passione! La funzione sta tra 0 e 2 (questo direi che si dimostra per troncamento), quindi da Eulero la sua derivata ...

[Carmine]

Provo a rendere preciso il discorso.

Allora, per [tex]\varepsilon>0[/tex] piccolo a sufficienza la funzione:

[tex]\phi(x)=x^2-\varepsilon x^4[/tex]

presenta nei punti [tex]100[/tex] e [tex]-100[/tex] una derivata seconda:

[tex]\phi_{pp}(100)=2-12\varepsilon 100^2 \ge \frac{1}{2}[/tex]

Esiste allora una funzione [tex]\psi[/tex] che coincide con [tex]\phi[/tex] in [tex][-100,100][/tex], e fuori da questo intervallo ha derivata seconda costante, pari a [tex]\phi_{pp}(100)[/tex] (e che è ovviamente appartenente a [tex]C^2(\mathbb{R})[/tex]). In particolare, per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] si ha [tex]\psi_{pp}(x) \in [\frac{1}{2},1][/tex], dunque [tex]\psi[/tex] è strettamente convessa. Consideriamo allora il funzionale ausiliario:

[tex]G(u)=\int_0^1 \psi(\dot{u})+u^2 \ dx[/tex]

Il metodo diretto, utilizzato in forma standard, garantisce l'esistenza è l'unicità di un punto di minimo globale [tex]u_0[/tex] (per la compattezza, basta notare che [tex]\psi[/tex] sta sopra un opportuna parabola; la semicontinuità è standard; per la regolarità si usa la stretta monotonia e la regolarità di [tex]\psi_p[/tex]).

La funzione [tex]u_0[/tex] risolve allora:

[tex]\psi_{pp}(\dot{u_0})\ddot{u_0}=2u_0[/tex]

E' facile vedere, eventualmente usando degli opportuni troncamenti, che [tex]0 \le u_0 \le 2[/tex] in [tex][0,1][/tex]. Allora [tex]\ddot{u_0} \ge 0[/tex] ovunque in [tex][0,1][/tex], e inoltre:

[tex]\ddot{u_0} \le \frac{4}{1/2}=8[/tex]

In più, necessariamente [tex]\dot{u}(0) \in [0,2][/tex] (sicuramente [tex]\dot{u}(0) \ge 0[/tex], poi al più [tex]\dot{u}(0)=2[/tex], nel caso della retta, in quanto [tex]\dot{u}[/tex] è crescente). Integrando si ottiene allora:

[tex]\dot{u}(t)-\dot{u}(0) \le \int_0^t 8 \ dt \le 8 \ \Rightarrow \dot{u}(t) \le 2+8=10 \ ,[/tex]

da cui [tex]u_0[/tex] è WLM per il problema originario.