Prof, nell'esercizio 3 la seconda disuguaglianza è in generale falsa. Infatti:
- Se [tex](f_n), (g_n)[/tex] sono successioni di funzioni identicamente nulle, si ha uguaglianza;
- Se [tex](f_n)=((-1)^n)[/tex], [tex](g_n)=(-(-1)^n)[/tex], si ha il minore stretto;
- Se [tex](f_n)=(-g_n)[/tex], e per ogni [tex]n[/tex] si ha [tex]f_n(x)=0[/tex] se [tex]x \ne 0[/tex] e [tex]f_n(0)=1[/tex] se [tex]x=0[/tex], allora si ha il maggiore stretto (in [tex]0[/tex]).
Spulciando un po' su internet, ho visto che una formula vera è la seguente:
[tex]\displaystyle \Gamma-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n+g_n)(x) \ge[/tex]
[tex]\displaystyle \ge \Gamma-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n)(x) + \Gamma-\lim_{n \to \infty} \inf (g_n)(x)[/tex]
anche se ho pensato che la disuguaglianza che avesse Lei in mente (sicuramente vera e facilmente dimostrabile) fosse:
[tex]\displaystyle \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n+g_n)(x) \le[/tex]
[tex]\displaystyle \le \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n)(x) + \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (g_n)(x)[/tex]
Gamma convergence 3
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Re: Gamma convergence 3
Comunque l'affermazione all'esercizio 4, punto b, è falsa.
- Massimo Gobbino
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Re: Gamma convergence 3
Quella disuguaglianza con il Gamma-limsup della somma è davvero delirante. Non ho idea di cosa io volessi dire .
Tra l'altro è pure contraddittoria: se con il Gamma-liminf ci può essere disuguaglianza stretta anche in presenza di Gamma-limite, di certo non ci può essere l'opposto per il Gamma-limsup. Certamente con i Gamma+ limiti tutto si inverte, ma banalmente, e poi quelli li ho messi solo nell'ultima scheda.
Ora provo a correggere. Grazie per la segnalazione.
Tra l'altro è pure contraddittoria: se con il Gamma-liminf ci può essere disuguaglianza stretta anche in presenza di Gamma-limite, di certo non ci può essere l'opposto per il Gamma-limsup. Certamente con i Gamma+ limiti tutto si inverte, ma banalmente, e poi quelli li ho messi solo nell'ultima scheda.
Ora provo a correggere. Grazie per la segnalazione.
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