Gamma convergence 2

[Carmine]

Come per l'argomento "Relaxation 1", posto le soluzioni, nella speranza che possano essere d'aiuto a qualcuno.

Esercizio 1. Le risposte dovrebbero essere: a) Si, b) No, c) No, d) No, e) Si, f) Si, g) Si, h) Si.

Esercizio 2.1. Le risposte dovrebbero essere: a) Si, b) No, c) No, d) No, e) Si, f) Si, g) No, h) Si.

Esercizio 2.2. Le risposte dovrebbero essere: a) Si, b) No, c) No, d) No, e) Si, f) Si, g) Si, h) Si.

Simpatico l'esercizio sulla convessità, che mostra differenze tra i tre limiti (gli altri invece dovrebbero essere tutti uguali).

Domanda: La limitatezza nel punto a) è intesa uniforme? Io credo di si, altrimenti l'esercizio diventa troppo scontato... La periodicità nel punto f) è intesa nel senso che esiste [tex]T \ge 0[/tex] periodo comune per tutti? Io ho pensato di si, in caso non fosse così provvederò a correggere eventualmente la risposta.

Osservazione sull'esercizio 3: Sono abbastanza sicuro che bisogna chiedere che la funzione limite, in entrambi i casi, sia continua. Altrimenti, la successione costante [tex](\phi)_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex] dove [tex]\phi[/tex] è l'indicatrice di [tex][0,+\infty[[/tex], converge uniformemente a lei stessa, ma non [tex]\Gamma[/tex]-converge a lei stessa, ma al suo rilassato, ossia l'ndicatrice dell'intervallo aperto [tex]]0,+\infty[[/tex]. Supponendo invece che il limite sia continuo (è sufficiente che solo il limite lo sia, ma se la successione è composta da funzioni continue allora è noto che in entrambi i casi anche il limite lo sia), allora la dimostrazione va a termine anche nel secondo caso. Che ciò rientrasse nello "State precisely", questo non lo so

[Massimo Gobbino]

Negli esercizi a questo livello, ma talvolta anche in quelli di analisi 1, trovo che sia utile lasciare la formulazione parzialmente aperta, senza precisare da subito tutte le ipotesi (da qui lo "state precisely"). Questo vorrebbe allenare a quello che è il vero lavoro del matematico, cioè l'esplorazione dell'ignoto invece che l'esecuzione di un copione scritto da altri.

In questo senso va interpretata la vaghezza sulle ipotesi di limitatezza (uniforme o no?), o periodicità (con lo stesso periodo?). Ovviamente in questi casi la risposta è scontata, se non si vuole banalizzare l'esercizio, ma la vera cosa positiva è porsi la domanda.

Certamente nel 3 serve la continuità del limite. In questo caso era meno scontata, anche se il classico esercizio di analisi 2 sul limite contemporaneo funzione-punto (cioè di roba del tipo [tex]f_n(x_n)[/tex]) suggerisce la necessità di quell'ipotesi.

Infine, ebbene sì, il Gamma-limsup non preserva la convessità, in fondo perché il max tra 2 convesse non è necessariamente convesso.

[EDIT] Alla riga sopra si intende "il Gamma-liminf non preserva la convessità, in fondo perché il min tra 2 convesse non è necessariamente convesso".
... vedi due post sotto

[Carmine]

PS. A me viene che il G-liminf non preserva la convessità, mentre il G-limsup si...

[Massimo Gobbino]

Certo, ho detto io le cose al contrario: il Gamma-liminf non conserva la convessità perché il min tra due convesse potrebbe non essere convesso. L'età fa questi scherzi!