Provo a scrivere la soluzione del primo esercizio (nella versione modificata, cioè quella caricata online).
Punto a): Sia .
Se è punto di minimo per il funzionale allora per , posto , si deve avere . Facendo i conti si ottiene
$$
\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
Supponendo , derivo per parti ed ottengo
$$ \big[ 2\ddot{u}\dot{v} -2u^{(3)}v - 7xv\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.$$
cioè, siccome è nulla al bordo,
$$ \big[ 2\ddot{u}\dot{v}\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.$$
(Fase I) considero le tali che . Applicando (una variante di) FLCV, ottengo .
(Fase II) Ma allora deve valere . Per l'arbitrarietà di , questo vuol dire che .
Quindi deve soddisfare il sistema
$$
\begin{cases}
u^{(4)}=\frac{3}{2} \\
\ddot{u}(0)=\ddot{u}(1)=0 \\
u(0)=u(1)=0
\end{cases}
$$
Si può verificare che il sistema ha un'unica soluzione, che si può anche calcolare esplicitamente con un po' di conti (è un polinomio di quarto grado...): sia tale soluzione. Voglio mostrare che è l'unico punto di minimo.
Sia qualsiasi e ; allora si ha
$$
F(w) = F(u_0+v) = F(u_0) + \underbrace{\int_0^1 \ddot{v}^2\,dx}_{\ge0} + \underbrace{\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx}_{=0}
\ge F(u_0)
$$
e vale l'uguaglianza se e solo se , ma è nulla al bordo, quindi se e solo se . Pertanto è l'unico punto di minimo.
Punto b): il procedimento è il solito, quindi scrivo meno dettagli. Stavolta però e (cosicché ).
Dalla relazione
$$
\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
ottengo
$$
\big[-2u^{(3)}v - 7xv\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
Dalla "Fase I" ottengo sempre , mentre dalla "Fase II" ricavo e .
In conclusione deve soddisfare il sistema
$$
\begin{cases}
u^{(4)}=\frac{3}{2} \\
u^{(3)}(0) = 0 \\
u^{(3)}(1) = -\frac{7}{2} \\
\dot{u}(0)=\dot{u}(1)=0
\end{cases}
$$
Tale sistema non ha soluzione: la prima equazione dice che è del tipo ; ma allora la seconda equazione implica e dunque la terza diventa .
In effetti, in questo caso . Lo si può vedere, ad esempio, considerando la successione : si ha che per ogni n, e . [NOTA: tale successione andava bene anche al punto (a) dell'esercizio originale
]
Spero di non aver fatto troppi errori
. Ogni commento/suggerimento è ben accetto
)
.