Integrale indeterminato
Inviato: lunedì 17 settembre 2012, 11:44
volevo sapere se questo integrale risulta indeterminato...
Determinare i valori di [tex]a\in \mathbb{R}[/tex] per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:
[tex]\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\,\, \left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) \,\,dx[/tex]
Consideriamo a funzione:
[tex]\displaystyle f(x)=\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)[/tex]
è definita per [tex]x>2;[/tex] in più si può osservare che risulta positiva per ogni valore di [tex]x\ge3,[/tex] in quanto l'argomento entro parentesi quadre è elevato alla potenza [tex]6[/tex] che in quanto pari rende la quantità certamente positiva, mentre [tex]\displaystyle\ln^3(x-2)\ge 0[/tex] per [tex]x\ge3.[/tex] L'integrale dunque presenta singolarità in entrambi gli estremi di integrazione.
Considerando il confronto asintotico, abbiamo:
[tex]x\to2^+:[/tex]
osserando che per la disuguaglianza triangolare si ha
[tex]\displaystyle\left|1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<1+\left|\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<2[/tex]
[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) <[/tex] [tex]\displaystyle\left(\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-2a \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\to-\infty[/tex]
dunque la funzione [tex]f(x)[/tex] ''sta sotto'' una funzione che tende a [tex]-\infty[/tex], quando [tex]x\to2^+,[/tex] e dunque a maggior ragione divergerà a [tex]-\infty,[/tex] e dunque l'integrale in questo caso diverge.
[tex]x\to+\infty:[/tex]
[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\sim[/tex] [tex]\displaystyle\left(0- \frac{a}{2(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x \sim[/tex] [tex]\displaystyle\left( \frac{a}{(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x[/tex]
[tex]\displaystyle= \frac{C}{(x-2)^{\frac{3}{5}} \ln^{-3} x }\to \text{divergente a} \quad +\infty[/tex]
dunque si conclude che [tex]\forall a\in \mathbb {R}[/tex] l'integrale risulta indeterminato
Riporto il grafico per [tex]a=1[/tex] per completezza
Determinare i valori di [tex]a\in \mathbb{R}[/tex] per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:
[tex]\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\,\, \left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) \,\,dx[/tex]
Consideriamo a funzione:
[tex]\displaystyle f(x)=\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)[/tex]
è definita per [tex]x>2;[/tex] in più si può osservare che risulta positiva per ogni valore di [tex]x\ge3,[/tex] in quanto l'argomento entro parentesi quadre è elevato alla potenza [tex]6[/tex] che in quanto pari rende la quantità certamente positiva, mentre [tex]\displaystyle\ln^3(x-2)\ge 0[/tex] per [tex]x\ge3.[/tex] L'integrale dunque presenta singolarità in entrambi gli estremi di integrazione.
Considerando il confronto asintotico, abbiamo:
[tex]x\to2^+:[/tex]
osserando che per la disuguaglianza triangolare si ha
[tex]\displaystyle\left|1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<1+\left|\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<2[/tex]
[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) <[/tex] [tex]\displaystyle\left(\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-2a \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\to-\infty[/tex]
dunque la funzione [tex]f(x)[/tex] ''sta sotto'' una funzione che tende a [tex]-\infty[/tex], quando [tex]x\to2^+,[/tex] e dunque a maggior ragione divergerà a [tex]-\infty,[/tex] e dunque l'integrale in questo caso diverge.
[tex]x\to+\infty:[/tex]
[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\sim[/tex] [tex]\displaystyle\left(0- \frac{a}{2(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x \sim[/tex] [tex]\displaystyle\left( \frac{a}{(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x[/tex]
[tex]\displaystyle= \frac{C}{(x-2)^{\frac{3}{5}} \ln^{-3} x }\to \text{divergente a} \quad +\infty[/tex]
dunque si conclude che [tex]\forall a\in \mathbb {R}[/tex] l'integrale risulta indeterminato
Riporto il grafico per [tex]a=1[/tex] per completezza
