Integrale indeterminato

[Noisemaker]

volevo sapere se questo integrale risulta indeterminato...

Determinare i valori di [tex]a\in \mathbb{R}[/tex] per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:

[tex]\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\,\, \left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) \,\,dx[/tex]

Consideriamo a funzione:

[tex]\displaystyle f(x)=\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)[/tex]

è definita per [tex]x>2;[/tex] in più si può osservare che risulta positiva per ogni valore di [tex]x\ge3,[/tex] in quanto l'argomento entro parentesi quadre è elevato alla potenza [tex]6[/tex] che in quanto pari rende la quantità certamente positiva, mentre [tex]\displaystyle\ln^3(x-2)\ge 0[/tex] per [tex]x\ge3.[/tex] L'integrale dunque presenta singolarità in entrambi gli estremi di integrazione.

Considerando il confronto asintotico, abbiamo:

[tex]x\to2^+:[/tex]

osserando che per la disuguaglianza triangolare si ha

[tex]\displaystyle\left|1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<1+\left|\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right|<2[/tex]

[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2) <[/tex] [tex]\displaystyle\left(\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-2a \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\to-\infty[/tex]

dunque la funzione [tex]f(x)[/tex] ''sta sotto'' una funzione che tende a [tex]-\infty[/tex], quando [tex]x\to2^+,[/tex] e dunque a maggior ragione divergerà a [tex]-\infty,[/tex] e dunque l'integrale in questo caso diverge.

[tex]x\to+\infty:[/tex]


[tex]\displaystyle\left[\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}-a\left(1-\cos\left(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{4}}}\right)\right)\right]^{\frac{6}{5}}\ln^3(x-2)\sim[/tex] [tex]\displaystyle\left(0- \frac{a}{2(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x \sim[/tex] [tex]\displaystyle\left( \frac{a}{(x-2)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{6}{5}}\ln^3 x[/tex]
[tex]\displaystyle= \frac{C}{(x-2)^{\frac{3}{5}} \ln^{-3} x }\to \text{divergente a} \quad +\infty[/tex]

dunque si conclude che [tex]\forall a\in \mathbb {R}[/tex] l'integrale risulta indeterminato

Riporto il grafico per [tex]a=1[/tex] per completezza

[Massimo Gobbino]

Uhm, questo è un po' un disastro (sostanziale, non solo formale) ... sia per il problema a 2, sia per il problema all'infinito ... C'è un po' di tutto, dalle disuguaglianze al contrario, ai limiti metà per volta ... Perchè non inizi cambiando variabili in modo da portare 2 in 0 e semplificare un po' le notazioni?

[Noisemaker]

[Massimo Gobbino]

A 0 la situazione è migliorata. All'infinito è ancora buio profondo

[Noisemaker]