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Perché l'integrale improprio:

[tex]\int_0^\infty\frac{1}{x \log^5 x} dx[/tex]

è indeterminato?

L'ho diviso in 4 integrali per i problemi in 0,1 e +inf, col risultato che diverge a -inf... dove ho sbagliato?

io proverei cosi....

La singolarità "peggiore" si ha in [tex]1[/tex] poichè

Se [tex]x\to0^+[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\to[/tex] converge

Se [tex]x\to +\infty[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\to[/tex] converge

Se [tex]x\to1^+[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\sim\frac{1}{(x-1)^5}\to[/tex] diverge a [tex]+\infty[/tex]

perchè quando [tex]x[/tex] si avvicina ad [tex]1[/tex] da valori più grandi la funzione è positiva;

Se [tex]x\to1^-[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\sim\frac{1}{(x-1)^5}\to[/tex] diverge a [tex]-\infty[/tex]

perchè quando [tex]x[/tex] si avvicina ad [tex]1[/tex] da valori più piccoli la funzione è negativa;

questo è sufficiente a garantire l'indeterminatezza dell'integrale improprio.

Sostanzialmente, l'integrale non converge.

Grazie per la risposta!

Ricontrollando i quattro limiti in cui avevo diviso l'integrale, ho trovato un errore di segno, per cui, correggendo, uno dei quattro tende a +inf mentre un altro a -inf.
Esattamente quelli che hanno a che fare con 1 in uno degli estremi.

Mi incuriosisce però come hai trattato il problema a partire dai limiti della funzione integranda... senza aver prima risolto l'integrale. Oppure, ho frainteso il tuo ragionamento?
Nel senso... a partire dal grafico della funzione integranda posso determinare a priori il comportamento dell'integrale?