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Ciao ragazzi, qualcuno può aiutarmi con il calcolo di questo integrale?

[tex]\int_{0}^{\sqrt{2}} {x^{2}\sqrt{2-x^{2}}dx[/tex]

ho provato per parti ma niente, allora ho pensato alla sostituzione [tex]\sqrt{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)} = (\sqrt{2}-x)y[/tex]
e riesco ad arrivare ad un integrale polinomiale senza radici ma al denominatore ho una molteplicità 7, che mi poterebbe a dover fare dei calcoli troppo esagerati secondo me per un banale esercizio, sono abbastanza sicuro che infondo ai calcoli ci si arrivi e funzioni, ma credo sia una via tortuosa e sono abbastanza sicuro che ce ne sia un'altra, qualcuno che la scorge? xD

Beh, quella radice dovrebbe farti accendere la lampadina della sostituzione goniometrica

Facciamo che inizio io, te lo sistemo un po', e poi concludi tu. Dunque, poniamo [tex]x=\sqrt{2}y[/tex]. Si ottiene allora il seguente integrale:

[tex]\displaystyle \int_0^1 2y^2\sqrt{2-2y^2} \sqrt{2} \ dy[/tex]
[tex]\displaystyle 4 \int_0^1 y^2\sqrt{1-y^2} \ dy[/tex]

E ora che sostituzione puoi fare per concludere? Ricorda la relazione fondamentale della goniometria... dai ora è facile

che scemo è vero! pongo ad esempio [tex]y = sin(t)[/tex] dunque [tex]dy = cos(t) dt[/tex] ora l'integrale diventa
[tex]4\int_{}{}{sin^{2}(t)cos^{2}(t)[/tex] a questo punto [tex]sin^{2}(t)=1-cos^{2}(t)[/tex] e da li vado avanti...giusto?

Eeeeeesatto