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Salve a tutti, di fronte ad una funzione integrale definita da [tex](0,+\infty)[/tex] in R

[tex]\displaystyle f(x) =\int_{x}^{2x}\frac{1}{1+t\log(t)}dt[/tex]

come calcolo
1) limiti a 0 e infinito
2) max e min
3) monotonia
Essendo abituato ad una funzione con la "x" che compare solo in un estremo dell'integrale, come mi comporto in questo caso? Grazie

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho spostato nella sezione giusta.

Beh, puoi scrivere innanzitutto:

[tex]f(x)=g(2x)-g(x) ,[/tex]

con:

[tex]\displaystyle g(y)=\int_0^y h(t) \ dt ,[/tex]

ove [tex]h[/tex] è quella funzione lì... A questo punto, quanto vale [tex]\frac{d}{dx}f(x)[/tex]? Teorema fondamentale del Calcolo integrale, cosa dice?

Poi, il limite in [tex]0[/tex] è facile... al limite a [tex]+\infty[/tex] ci pensiamo dopo

PS: a scanso di equivoci, io approccerei così il problema, ma non ho fatto i conti. Quindi il mio approccio potrebbe essere inefficiente, prova

Ora provo, ma tu hai spezzato l'integrale in 0, hai scelto 0 a caso o si doveva scegliere per forza zero?

Boh, visto che l'esercizio chiede di calcolare il limite in [tex]0[/tex] magari è utile spezzarlo usando [tex]0[/tex]...

Beh,il limite in 0 è ovviamente 0 perchè l'integranda è limitata vicino a 0 (il limite dell'integranda per t tendente a 0 è 1, e ciò si verifica immediatamente).

Con facili conti si verifica poi che l'integranda è sempre positiva, dunque che [tex]f \ge 0[/tex] ovunque. In realtà, molto facilmente si dimostra che [tex]f>0[/tex] ovunque.

Per t tendente a [tex]+\infty[/tex], usando il teorema della media integrale si ha che (nel seguito, [tex]x_0 \in [x,2x][/tex]):

[tex]\displaystyle f(x)=(2x-x)h(x_0)=x \frac{1}{1+x_0 \log(x_0)} \le x \frac{1}{x_0 \log(x_0)} \le \frac{1}{\log(x_0)} ,[/tex]

e visto che [tex]x_0 \ge x[/tex] si ha che [tex]f(x)[/tex] tende a 0 per x tendente a [tex]+\infty[/tex] (insomma, l'ho scritta da cani, scrivila un po' meglio).

Per più motivi (tendenza a 0 a 0, o tendenza a 0 a [tex]+\infty[/tex]), f non ammette minimo, e l'estremo inferiore è 0.

Infine, la derivata è:

[tex]d/dx f(x)=2h(2x)-h(x) ,[/tex]

con h integranda: un banale studio di tale funzione (in linea teorica è banale, voglio dire ad Analisi 1 si imparano mille strumenti per affrontarlo, poi magari in questo caso non è così banale, non lo so) permette di identificare gli intervalli di monotonia e, credo, anche il massimo (in linea teorica di sicuro, in linea pratica spero sia calcolabile esplicitamente, se non lo è pazienza)

Grazie per la spiegazione che ha confermato i miei conti comunque chiedeva solo il punto di massimo non anche il valore massimo che assume f(x) quindi con un semplice studio della derivata ci si arrivava subito grazie ancora per i consigli!